Устные вопросы и задания 28 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

2. Привести пример предложения, являющегося следствием предложения «число х делится на 5».
3. Какие предложения р (х) и q (х) называют равносильными?
4. Привести пример предложения, равносильного предложению «корень x2 — неотрицательное число».
5. Какие уравнения называют равносильными?
6. Привести примеры преобразований уравнения, приводящих к равносильному уравнению.
7. Какие системы уравнений называют равносильными?
8. Привести примеры преобразований систем уравнений, приводящих к равносильной системе уравнений.
9. Как связаны множества корней уравнения и уравнения, являющегося следствием исходного?
10. Привести примеры преобразований уравнения, приводящих к уравнению-следствию, неравносильному исходному уравнению.
11. Привести пример преобразования уравнения, которое может привести к потере корней.
12. Какие неравенства называют равносильными?
13. Привести примеры преобразований неравенств, приводящих к равносильным неравенствам.

1. Предложение $$q(x)$$ является следствием предложения $$p(x)$$, если при всяком значении $$x$$, при котором истинно $$p(x)$$, истинно и $$q(x)$$.

2. Пример следствия предложения «число $$x$$ делится на 5»:

   «Число $$x$$ оканчивается цифрой 0 или 5».

3. Предложения $$p(x)$$ и $$q(x)$$, заданные на одном и том же множестве, называют равносильными, если $$p(x) \Rightarrow q(x)$$ и $$q(x) \Rightarrow p(x)$$.

4. Пример предложения, равносильного предложению «$$\sqrt{x^2}$$ — неотрицательное число»:

   «$$x^2 \ge 0$$».

5. Уравнения называют равносильными, если множества их корней совпадают.

6. Примеры преобразований, приводящих к равносильному уравнению:

   • перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением знака;
   • умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, или на выражение, не обращающееся в нуль при допустимых значениях неизвестных.

7. Системы уравнений равносильны, если множества их решений совпадают.

8. Примеры преобразований, приводящих к равносильной системе:

   • замена одного уравнения системы равносильным ему уравнением;
   • замена одного уравнения выражением, полученным из другого уравнения системы;
   • замена одного уравнения суммой уравнений, каждое из которых получено умножением данных уравнений на числа, отличные от нуля.

9. Уравнение, являющееся следствием исходного, может иметь больше корней, чем исходное, то есть могут появиться посторонние корни.

10. Примеры преобразований, приводящих к уравнению-следствию:

    • умножение обеих частей уравнения на выражение с неизвестным;
    • возведение обеих частей уравнения в квадрат.

11. Пример преобразования, которое может привести к потере корней: деление обеих частей уравнения на выражение с неизвестным.

12. Неравенства называют равносильными, если они имеют одинаковые решения.

13. Примеры преобразований, приводящих к равносильным неравенствам:

    • перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с изменением знака;
    • умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или выражение, сохраняющее знак неравенства;
    • умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или выражение, меняющее знак неравенства на противоположный.

Ответ

1) $$q(x)$$ является следствием $$p(x)$$, если при истинности $$p(x)$$ всегда истинно $$q(x)$$.
2) Например: «$$x$$ оканчивается цифрой 0 или 5».
3) $$p(x)$$ и $$q(x)$$ равносильны, если $$p(x)\Rightarrow q(x)$$ и $$q(x)\Rightarrow p(x)$$.
4) Например: «$$x^2\ge 0$$».
5) Уравнения равносильны, если у них одинаковые множества корней.
6) Перенос слагаемых; умножение или деление на ненулевое число или выражение, не обращающееся в нуль.
7) Системы равносильны, если множества их решений совпадают.
8) Замена уравнения равносильным; подстановка выражения из одного уравнения в другое; сложение уравнений после умножения на ненулевые числа.
9) Уравнение-следствие может иметь больше корней, чем исходное, то есть появляются посторонние корни.
10) Умножение обеих частей на выражение с неизвестным; возведение обеих частей в квадрат.
11) Деление обеих частей уравнения на выражение с неизвестным.
12) Неравенства равносильны, если имеют одинаковые решения.
13) Перенос слагаемых; умножение или деление на положительное число или выражение; умножение или деление на отрицательное число или выражение с изменением знака неравенства.