Проверь себя к главе 1 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Вычислим:

   а)

   $$3^{-5}:3^{-7}-2^{-2}\cdot 2^4+\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^3$$

   $$=3^{-5-(-7)}-2^{-2+4}+\left(\frac{3}{2}\right)^3$$

   $$=3^2-2^2+\frac{27}{8}=9-4+\frac{27}{8}=5\frac{3}{8}$$

   б)

   $$\sqrt[5]{3^{10}\cdot 32}-\frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}}$$

   $$=\sqrt[5]{3^5\cdot 2^5}-\sqrt[3]{\frac{48}{2\cdot 3}}=3\cdot 2-\sqrt[3]{8}=6-2=4$$

   в)

   $$25^{\frac{3}{2}}\cdot 25^{-1}+\left(5^2\right)^{\frac{2}{3}}:5^3-48^{\frac{2}{3}}:6^{\frac{2}{3}}$$

   $$=5^3\cdot \frac{1}{5^2}+5^{\frac{4}{3}-3}-\left(\frac{48}{6}\right)^{\frac{2}{3}}$$

   $$=5+5^{-1}-2^2=5+\frac{1}{5}-4=1\frac{1}{5}$$

2. Запишем числа в стандартном виде:

   $$8600=8{,}6\cdot 10^3,\qquad 0{,}0078=7{,}8\cdot 10^{-3}$$

   Произведение:

   $$\left(8{,}6\cdot 10^3\right)\left(7{,}8\cdot 10^{-3}\right)=8{,}6\cdot 7{,}8=67{,}08$$

   Частное:

   $$\left(8{,}6\cdot 10^3\right):\left(7{,}8\cdot 10^{-3}\right)=\frac{8{,}6}{7{,}8}\cdot 10^6\approx 1{,}1\cdot 10^6$$

3. Упростим выражения:

   а)

   $$3x^{-9}\cdot \frac{2x^5}{x^{-4}}=6x^{-9+5+4}=6$$

   б)

   $$\left(x^{-1}+y^{-1}\right)\cdot \left(\frac{1}{xy}\right)^{-2}$$

   $$=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot (xy)^2=xy(x+y)$$

4. Упростим выражение:

   $$\frac{a^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot a^{\frac{1}{4}}}$$

   $$=\frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}=a^{\frac{5}{3}-\frac{11}{12}}=a^{\frac{9}{12}}=a^{\frac{3}{4}}$$

   При $$a=81$$:

   $$81^{\frac{3}{4}}=\left(3^4\right)^{\frac{3}{4}}=3^3=27$$

5. Сравним числа:

   а) так как $$0{,}78>0{,}67$$ и показатель $$\frac{2}{3}>0$$, то

   $$\left(0{,}78\right)^{\frac{2}{3}}>\left(0{,}67\right)^{\frac{2}{3}}$$

   б) так как $$3{,}09>3{,}08>0$$ и показатель $$-\frac{1}{3}<0$$, то

   $$\left(3{,}09\right)^{-\frac{1}{3}}<\left(3{,}08\right)^{-\frac{1}{3}}$$

6. Найдём значение выражения:

   а)

   $$\left(\left(0{,}27\right)^0\right)^{-2{,}7}-\frac{8}{25}\cdot 81^{\frac{1}{3}}-(-5)^{-2}+8{,}1^{-7}\cdot 8{,}1^7$$

   $$=1^{-2{,}7}-\frac{8}{25}\cdot 3^4-\frac{1}{25}+1$$

   $$=1-\frac{8}{25}\cdot 81-\frac{1}{25}+1=1$$

   б)

   $$\frac{45^{\frac{3}{8}}\cdot 3^{-\frac{5}{8}}}{3^{-\frac{1}{4}}\cdot 15^{-\frac{5}{8}}}$$

   $$=\frac{(3^2\cdot 5)^{\frac{3}{8}}\cdot 3^{-\frac{5}{8}}}{3^{-\frac{1}{4}}\cdot (3\cdot 5)^{-\frac{5}{8}}}$$

   $$=\frac{3^{\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{8}}3^{-\frac{5}{8}}}{3^{-\frac{1}{4}}3^{-\frac{5}{8}}5^{-\frac{5}{8}}}=3^{0}\cdot 5^1=5$$

7. Сравним значения выражений:

   $$0{,}2\cdot \sqrt[6]{(-5)^{18}}=0{,}2\cdot 5^3=25$$

   $$10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot \sqrt[4]{625}}=10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot 5}=5\sqrt{5}$$

   Так как $$25>5\sqrt{5}$$, то

   $$0{,}2\cdot \sqrt[6]{(-5)^{18}}>10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot \sqrt[4]{625}}$$

8. Упростим выражение:

   $$\left(1-2a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}}+ab^{-1}\right):\frac{b^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}}{b}$$

   $$=\left(1-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2\cdot \frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\sqrt{b}-\sqrt{a}$$

   При $$a=0{,}49$$, $$b=1{,}21$$:

   $$\sqrt{b}-\sqrt{a}=\sqrt{1{,}21}-\sqrt{0{,}49}=1{,}1-0{,}7=0{,}4$$

9. Решим уравнение:

   $$2^{3x^2-1}=4^x$$

   $$2^{3x^2-1}=2^{2x}$$

   $$3x^2-1=2x$$

   $$3x^2-2x-1=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16$$

   $$x=\frac{2\pm 4}{6}$$

   $$x_1=-\frac{1}{3},\qquad x_2=1$$

10. Найдём значение выражения:

    $$(-1{,}5)^{-3}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-4}\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3-\left(\left(\frac{7}{9}\right)^{0{,}7}\right)^0+16^{\frac{3}{4}}\cdot 0{,}5$$

    $$=\left(-\frac{3}{2}\right)^{-3}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}-1+2^3\cdot 2^{-1}$$

    $$=-\frac{8}{27}-\frac{5}{2}-1+4=\frac{11}{54}$$

11. Пусть

    $$a=\frac{3-2\sqrt{7}}{8}$$

    Тогда

    $$32a^2-4a-17=32\left(\frac{3-2\sqrt{7}}{8}\right)^2-4\cdot \frac{3-2\sqrt{7}}{8}-17$$

    $$=-5\sqrt{7}$$

12. Сравним с нулём:

    $$\frac{\sqrt[3]{9{,}7}-\sqrt[3]{8{,}1}}{\sqrt[4]{0{,}021}-\sqrt[4]{0{,}022}}$$

    Числитель положителен, так как $$9{,}7>8{,}1>0$$.

    Знаменатель отрицателен, так как $$0{,}021<0{,}022$$ и функция $$x^{\frac{1}{4}}$$ возрастает при $$x>0$$.

    Значит, всё выражение меньше нуля.

13. Упростим выражение:

    $$\left(\sqrt{a-\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}+\sqrt{a+\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}\right)^2\cdot \sqrt[4]{\frac{a^2}{4}}$$

    Обозначим

    $$u=\sqrt{a-\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}},\qquad v=\sqrt{a+\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}$$

    Тогда

    $$\left(u+v\right)^2=u^2+v^2+2uv$$

    $$=2a+2\sqrt{a^2-\frac{a^2-4}{a}}=2a+2\sqrt{\frac{4}{a}}$$

    $$=2a+\frac{4}{\sqrt{a}}$$

    После умножения на $$\sqrt[4]{\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}$$ получаем

    $$\sqrt{2}\,(a+2)=\sqrt{2}(a+2)$$

Ответ

1. а) $$5\frac{3}{8}$$; б) $$4$$; в) $$1\frac{1}{5}$$.
2. $$8600=8{,}6\cdot 10^3,\; 0{,}0078=7{,}8\cdot 10^{-3},\; 67{,}08,\; \approx 1{,}1\cdot 10^6$$.
3. а) $$6$$; б) $$xy(x+y)$$.
4. $$a^{\frac{3}{4}}$$, при $$a=81$$: $$27$$.
5. а) $$\left(0{,}78\right)^{\frac{2}{3}}>\left(0{,}67\right)^{\frac{2}{3}}$$; б) $$\left(3{,}09\right)^{-\frac{1}{3}}<\left(3{,}08\right)^{-\frac{1}{3}}$$.
6. а) $$1$$; б) $$5$$.
7. $$0{,}2\cdot \sqrt[6]{(-5)^{18}}>10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot \sqrt[4]{625}}$$.
8. $$\sqrt{b}-\sqrt{a}$$, при $$a=0{,}49$$, $$b=1{,}21$$: $$0{,}4$$.
9. $$x=-\frac{1}{3},\; 1$$.
10. $$\frac{11}{54}$$.
11. $$-5\sqrt{7}$$.
12. Меньше нуля.
13. $$\sqrt{2}(a+2)$$.