Проверь себя к главе 1 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

а) 3^-5 : 3^-7 -2^-2 * 2^4 + ((2/3)-1)3;
б) корень 5 степени 3^10 * 32 — корень 3 степени 48/корень 3 степени 2 корень 3 степени 3;
в) 25^3/2 * 26^-1 + (5^2)2/3 : 5^3 — 48^2/3 : 6^2/3.
2. Записать числа 8600 и 0,0078 в стандартном виде и найти их произведение и частное.
3. Упростить выражение:
а) 3x^-9 * 2×5/x^-4;
б) (x^-1 + y^-1)* (1/xy)-2.
4. Упростить выражение a5/3/корень 3 степени a2 * a1/4 и найти его числовое значение при a=81.
5. Сравнить числа: (0,78)2/3 и (0,67)2/3; (3,09)-1/3 и (3,08)-1/3.
6. Найти значение числового выражения:
а) ((0,27)0)-2,7 — 8/25 * 81^1/3 — (-5)-2 + 8,1^-7 * 8,1^7;
б) 45^3/8 * 3^-5/8/3^-1/4 * 15^-5/8.
7. Сравнить значения числовых выражений
0,2 * корень 6 степени (-5)18 и 10 корень (1/4 корень 4 степени 625).
8. Упростить выражение (1-2a1/2b^-1/2 + ab^-1):b1/2 — a1/2/b и найти его числовое значение при а = 0,49, b =1,21.
9. Решить уравнение 2^3×2-1=4x.
10. Найти значение выражения:
(-1,5)-3 — (2/5)-4*(2/5)3 — ((7/9)0,7)0 + 16^3/4 * 0,5.
11. Найти числовое значение выражения 32 * а2 -4а -17 при a=3-2 корень 7/8.
12. Сравнить с нулём значение выражения корень 3 степени 9,7 — корень 3 степени 8,1/ корень 4 степени 0,021 — корень 4 степени 0,022.
13. Упростить выражение:
(корень a — корень a2-4/a + корень корень a + корень a2-4/a)2 * корень 4 степени a2/4.

1. Вычислим:

   а)

   $$3^{-5}:3^{-7}-2^{-2}\cdot 2^4+\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^3$$

   $$=3^{-5-(-7)}-2^{-2+4}+\left(\frac{3}{2}\right)^3$$

   $$=3^2-2^2+\frac{27}{8}=9-4+\frac{27}{8}=5\frac{3}{8}$$

   б)

   $$\sqrt[5]{3^{10}\cdot 32}-\frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}}$$

   $$=\sqrt[5]{3^5\cdot 2^5}-\sqrt[3]{\frac{48}{2\cdot 3}}=3\cdot 2-\sqrt[3]{8}=6-2=4$$

   в)

   $$25^{\frac{3}{2}}\cdot 25^{-1}+\left(5^2\right)^{\frac{2}{3}}:5^3-48^{\frac{2}{3}}:6^{\frac{2}{3}}$$

   $$=5^3\cdot \frac{1}{5^2}+5^{\frac{4}{3}-3}-\left(\frac{48}{6}\right)^{\frac{2}{3}}$$

   $$=5+5^{-1}-2^2=5+\frac{1}{5}-4=1\frac{1}{5}$$

2. Запишем числа в стандартном виде:

   $$8600=8{,}6\cdot 10^3,\qquad 0{,}0078=7{,}8\cdot 10^{-3}$$

   Произведение:

   $$\left(8{,}6\cdot 10^3\right)\left(7{,}8\cdot 10^{-3}\right)=8{,}6\cdot 7{,}8=67{,}08$$

   Частное:

   $$\left(8{,}6\cdot 10^3\right):\left(7{,}8\cdot 10^{-3}\right)=\frac{8{,}6}{7{,}8}\cdot 10^6\approx 1{,}1\cdot 10^6$$

3. Упростим выражения:

   а)

   $$3x^{-9}\cdot \frac{2x^5}{x^{-4}}=6x^{-9+5+4}=6$$

   б)

   $$\left(x^{-1}+y^{-1}\right)\cdot \left(\frac{1}{xy}\right)^{-2}$$

   $$=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot (xy)^2=xy(x+y)$$

4. Упростим выражение:

   $$\frac{a^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot a^{\frac{1}{4}}}$$

   $$=\frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}=a^{\frac{5}{3}-\frac{11}{12}}=a^{\frac{9}{12}}=a^{\frac{3}{4}}$$

   При $$a=81$$:

   $$81^{\frac{3}{4}}=\left(3^4\right)^{\frac{3}{4}}=3^3=27$$

5. Сравним числа:

   а) так как $$0{,}78>0{,}67$$ и показатель $$\frac{2}{3}>0$$, то

   $$\left(0{,}78\right)^{\frac{2}{3}}>\left(0{,}67\right)^{\frac{2}{3}}$$

   б) так как $$3{,}09>3{,}08>0$$ и показатель $$-\frac{1}{3}<0$$, то

   $$\left(3{,}09\right)^{-\frac{1}{3}}<\left(3{,}08\right)^{-\frac{1}{3}}$$

6. Найдём значение выражения:

   а)

   $$\left(\left(0{,}27\right)^0\right)^{-2{,}7}-\frac{8}{25}\cdot 81^{\frac{1}{3}}-(-5)^{-2}+8{,}1^{-7}\cdot 8{,}1^7$$

   $$=1^{-2{,}7}-\frac{8}{25}\cdot 3^4-\frac{1}{25}+1$$

   $$=1-\frac{8}{25}\cdot 81-\frac{1}{25}+1=1$$

   б)

   $$\frac{45^{\frac{3}{8}}\cdot 3^{-\frac{5}{8}}}{3^{-\frac{1}{4}}\cdot 15^{-\frac{5}{8}}}$$

   $$=\frac{(3^2\cdot 5)^{\frac{3}{8}}\cdot 3^{-\frac{5}{8}}}{3^{-\frac{1}{4}}\cdot (3\cdot 5)^{-\frac{5}{8}}}$$

   $$=\frac{3^{\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{8}}3^{-\frac{5}{8}}}{3^{-\frac{1}{4}}3^{-\frac{5}{8}}5^{-\frac{5}{8}}}=3^{0}\cdot 5^1=5$$

7. Сравним значения выражений:

   $$0{,}2\cdot \sqrt[6]{(-5)^{18}}=0{,}2\cdot 5^3=25$$

   $$10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot \sqrt[4]{625}}=10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot 5}=5\sqrt{5}$$

   Так как $$25>5\sqrt{5}$$, то

   $$0{,}2\cdot \sqrt[6]{(-5)^{18}}>10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot \sqrt[4]{625}}$$

8. Упростим выражение:

   $$\left(1-2a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}}+ab^{-1}\right):\frac{b^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}}{b}$$

   $$=\left(1-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2\cdot \frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\sqrt{b}-\sqrt{a}$$

   При $$a=0{,}49$$, $$b=1{,}21$$:

   $$\sqrt{b}-\sqrt{a}=\sqrt{1{,}21}-\sqrt{0{,}49}=1{,}1-0{,}7=0{,}4$$

9. Решим уравнение:

   $$2^{3x^2-1}=4^x$$

   $$2^{3x^2-1}=2^{2x}$$

   $$3x^2-1=2x$$

   $$3x^2-2x-1=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16$$

   $$x=\frac{2\pm 4}{6}$$

   $$x_1=-\frac{1}{3},\qquad x_2=1$$

10. Найдём значение выражения:

    $$(-1{,}5)^{-3}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-4}\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3-\left(\left(\frac{7}{9}\right)^{0{,}7}\right)^0+16^{\frac{3}{4}}\cdot 0{,}5$$

    $$=\left(-\frac{3}{2}\right)^{-3}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}-1+2^3\cdot 2^{-1}$$

    $$=-\frac{8}{27}-\frac{5}{2}-1+4=\frac{11}{54}$$

11. Пусть

    $$a=\frac{3-2\sqrt{7}}{8}$$

    Тогда

    $$32a^2-4a-17=32\left(\frac{3-2\sqrt{7}}{8}\right)^2-4\cdot \frac{3-2\sqrt{7}}{8}-17$$

    $$=-5\sqrt{7}$$

12. Сравним с нулём:

    $$\frac{\sqrt[3]{9{,}7}-\sqrt[3]{8{,}1}}{\sqrt[4]{0{,}021}-\sqrt[4]{0{,}022}}$$

    Числитель положителен, так как $$9{,}7>8{,}1>0$$.

    Знаменатель отрицателен, так как $$0{,}021<0{,}022$$ и функция $$x^{\frac{1}{4}}$$ возрастает при $$x>0$$.

    Значит, всё выражение меньше нуля.

13. Упростим выражение:

    $$\left(\sqrt{a-\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}+\sqrt{a+\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}\right)^2\cdot \sqrt[4]{\frac{a^2}{4}}$$

    Обозначим

    $$u=\sqrt{a-\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}},\qquad v=\sqrt{a+\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}$$

    Тогда

    $$\left(u+v\right)^2=u^2+v^2+2uv$$

    $$=2a+2\sqrt{a^2-\frac{a^2-4}{a}}=2a+2\sqrt{\frac{4}{a}}$$

    $$=2a+\frac{4}{\sqrt{a}}$$

    После умножения на $$\sqrt[4]{\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}$$ получаем

    $$\sqrt{2}\,(a+2)=\sqrt{2}(a+2)$$

Ответ

1. а) $$5\frac{3}{8}$$; б) $$4$$; в) $$1\frac{1}{5}$$.
2. $$8600=8{,}6\cdot 10^3,\; 0{,}0078=7{,}8\cdot 10^{-3},\; 67{,}08,\; \approx 1{,}1\cdot 10^6$$.
3. а) $$6$$; б) $$xy(x+y)$$.
4. $$a^{\frac{3}{4}}$$, при $$a=81$$: $$27$$.
5. а) $$\left(0{,}78\right)^{\frac{2}{3}}>\left(0{,}67\right)^{\frac{2}{3}}$$; б) $$\left(3{,}09\right)^{-\frac{1}{3}}<\left(3{,}08\right)^{-\frac{1}{3}}$$.
6. а) $$1$$; б) $$5$$.
7. $$0{,}2\cdot \sqrt[6]{(-5)^{18}}>10\sqrt{\frac{1}{4}\cdot \sqrt[4]{625}}$$.
8. $$\sqrt{b}-\sqrt{a}$$, при $$a=0{,}49$$, $$b=1{,}21$$: $$0{,}4$$.
9. $$x=-\frac{1}{3},\; 1$$.
10. $$\frac{11}{54}$$.
11. $$-5\sqrt{7}$$.
12. Меньше нуля.
13. $$\sqrt{2}(a+2)$$.