Проверь себя к главе 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
- Вычислить первые три члена последовательности, которая задана формулой n-го члена $$a_n=n^2-\frac{n}{2}$$.
- В арифметической прогрессии $$a_1=2$$, $$d=-3$$. Найти $$a_{10}$$ и сумму первых десяти её членов.
- В геометрической прогрессии $$b_1=4$$, $$q=\frac{1}{2}$$. Найти $$b_6$$ и сумму первых шести её членов.
- Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $$1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\ldots$$.
- Числовая последовательность задана формулой $$a_n=2n^2-2$$. Число $$128$$ является её членом. Найти его номер.
- В арифметической прогрессии $$a_8=19$$, $$a_{12}=31$$. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии.
- Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна $$10{,}5$$, знаменатель прогрессии равен $$2$$. Найти сумму первых трёх членов этой прогрессии.
- При каком значении $$x$$ числа $$x$$, $$3\sqrt{x}$$, $$5$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?
- Числовая последовательность задана рекуррентным способом: формулой $$a_{n+2}=\frac{a_n+5a_{n+1}}{2}$$ и условиями $$a_1=-1$$, $$a_2=3$$. Выяснить, является ли эта последовательность арифметической прогрессией.
- В арифметической прогрессии $$a_2+a_4=6$$, $$a_6\cdot a_7=99$$. Найти $$a_1$$.
- Найти $$b_1$$ и $$q$$ геометрической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна $$10{,}5$$ и $$b_1-b_4=31{,}5$$.
- Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии различны и являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии. Найти знаменатель этой прогрессии.
$$a_n=\frac{n^2-n}{2}$$
$$a_1=\frac{1^2-1}{2}=0,\quad a_2=\frac{2^2-2}{2}=1,\quad a_3=\frac{3^2-3}{2}=3.$$
$$a_1=2,\quad d=-3$$
$$a_{10}=a_1+9d=2+9\cdot(-3)=-25.$$
$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{2+(-25)}{2}\cdot 10=-115.$$
$$b_1=4,\quad q=\frac12$$
$$b_6=b_1q^5=4\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac18.$$
$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{4\left(\left(\frac12\right)^6-1\right)}{\frac12-1}=\frac{63}{8}.$$
Для прогрессии $$1,\ \frac13,\ \frac19,\ldots$$ имеем $$b_1=1,\ q=\frac13.$$
$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{\left(\frac13\right)^5-1}{\frac13-1}=\frac{121}{81}.$$
$$a_n=2^{n^2-2},\quad a_n=128=2^7.$$
$$2^{n^2-2}=2^7 \Rightarrow n^2-2=7 \Rightarrow n^2=9 \Rightarrow n=3.$$
$$a_8=19,\quad a_{12}=31$$
$$a_8=a_1+7d,\quad a_{12}=a_1+11d.$$
$$19-7d=31-11d \Rightarrow 4d=12 \Rightarrow d=3.$$
$$a_1=19-7\cdot 3=-2.$$
$$a_{10}=a_1+9d=-2+27=25.$$
$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{-2+25}{2}\cdot 10=115.$$
$$S_6=10{,}5,\quad q=2.$$
$$S_6=b_1\frac{q^6-1}{q-1}=b_1\frac{2^6-1}{2-1}=63b_1.$$
Отсюда $$b_1=\frac{10{,}5}{63}=\frac16.$$
Тогда
$$S_3=b_1\frac{q^3-1}{q-1}=\frac16\cdot\frac{2^3-1}{2-1}=\frac76=1\frac16.$$
Пусть $$a_1=x,\quad a_2=3\sqrt{x},\quad a_3=5.$$
Так как это арифметическая прогрессия, то
$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$
$$2\cdot 3\sqrt{x}=x+5 \Rightarrow 6\sqrt{x}=x+5.$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда
$$6t=t^2+5 \Rightarrow t^2-6t+5=0 \Rightarrow (t-1)(t-5)=0.$$
$$t=1 \text{ или } t=5.$$
Следовательно,
$$x=1 \text{ или } x=25.$$
$$a_{n+2}=\frac{a_n+5a_{n+1}}{2},\quad a_1=-1,\quad a_2=3.$$
$$a_3=\frac{a_1+5a_2}{2}=\frac{-1+15}{2}=7,$$
$$a_4=\frac{a_2+5a_3}{2}=\frac{3+35}{2}=19.$$
Разности соседних членов:
$$a_2-a_1=3-(-1)=4,\quad a_3-a_2=7-3=4,\quad a_4-a_3=19-7=12.$$
Разности не постоянны, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.
$$a_2+a_4=6,\quad a_6\cdot a_7=99.$$
Пусть $$a_1=x,\ d=y.$$ Тогда
$$a_2=x+y,\quad a_4=x+3y,\quad a_6=x+5y,\quad a_7=x+6y.$$
Из первого уравнения:
$$x+y+x+3y=6 \Rightarrow 2x+4y=6 \Rightarrow x+2y=3,$$
то есть $$x=3-2y.$$
Подставим во второе:
$$\bigl((3-2y)+5y\bigr)\bigl((3-2y)+6y\bigr)=99,$$
$$(3+3y)(3+4y)=99,$$
$$12y^2+21y-90=0,$$
$$4y^2+7y-30=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 4\cdot 30=529,\quad \sqrt D=23.$$
$$y_1=\frac{-7-23}{8}=-\frac{15}{4},\quad y_2=\frac{-7+23}{8}=2.$$
Тогда
$$x_1=3-2\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)=\frac{21}{2},\quad x_2=3-2\cdot 2=-1.$$
Значит, $$a_1=-1$$ или $$a_1=\frac{21}{2}.$$
Пусть $$b_1=x,\ q=t.$$ Тогда
$$S_3=x(1+t+t^2)=10{,}5,$$
$$b_1-b_4=x-xt^3=x(1-t^3)=31{,}5.$$
Делим второе равенство на первое:
$$\frac{1-t^3}{1+t+t^2}=3.$$
Так как $$1-t^3=(1-t)(1+t+t^2),$$ получаем
$$1-t=3 \Rightarrow t=-2.$$
Тогда
$$x(1-2+4)=10{,}5 \Rightarrow 3x=10{,}5 \Rightarrow x=3{,}5.$$
Следовательно, $$b_1=3{,}5,\ q=-2.$$
Пусть члены арифметической прогрессии: $$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d.$$
По условию они являются последовательными членами геометрической прогрессии, значит, средний член в квадрате равен произведению крайних:
$$a_1^2=(a_1+d)(a_1+2d).$$
$$a_1^2=a_1^2+3a_1d+2d^2 \Rightarrow 3a_1d+2d^2=0.$$
Так как члены различны, $$d\ne 0$$, значит
$$3a_1+2d=0 \Rightarrow 2d=-3a_1.$$
Знаменатель геометрической прогрессии:
$$q=\frac{a_1+2d}{a_1}=\frac{a_1-3a_1}{a_1}=-2.$$
Ответ
- $$0,\ 1,\ 3$$
- $$a_{10}=-25,\ S_{10}=-115$$
- $$b_6=\frac18,\ S_6=\frac{63}{8}$$
- $$S_5=\frac{121}{81}$$
- $$n=3$$
- $$S_{10}=115$$
- $$S_3=1\frac16$$
- $$x=1,\ 25$$
- Нет
- $$a_1=-1 \text{ или } a_1=\frac{21}{2}$$
- $$b_1=3{,}5,\ q=-2$$
- $$q=-2$$
