Проверь себя к главе 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

2. В арифметической прогрессии a1 = 2, d = -3. Найти а10 и сумму первых десяти её членов.
3. В геометрической прогрессии b1 =4, q = 1/2. Найти b6 и сумму первых шести её членов.
4. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 1,1/3, 1/9, … .
5. Числовая последовательность задана формулой аn = 2n2 2. Число 128 является её членом. Найти его номер.
6. В арифметической прогрессии а8=19, а12 = 31. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии.
7. Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 10,5, знаменатель прогрессии равен 2. Найти сумму первых трёх членов этой прогрессии.
8. При каком значении х числа х, 3 корень х, 5 являются последовательными членами арифметической прогрессии.
9. Числовая последовательность задана рекуррентным способом: формулой an+2= an+5an+1/2 и условиями а1 = —1, а2 = 3. Выяснить, является ли эта последовательность арифметической прогрессией.
10. В арифметической прогрессии а2 + а4 = б, a6 * а7 = 99. Найти а1.
11. Найти b1 и q геометрической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна 10,5 и b1-b4 = 31,5.
12. Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии различны и являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии. Найти знаменатель этой прогрессии.

Подробный ответ

$$a_n=\frac{n^2-n}{2}$$
$$a_1=\frac{1^2-1}{2}=0,\quad a_2=\frac{2^2-2}{2}=1,\quad a_3=\frac{3^2-3}{2}=3.$$
$$a_1=2,\quad d=-3$$
$$a_{10}=a_1+9d=2+9\cdot(-3)=-25.$$
$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{2+(-25)}{2}\cdot 10=-115.$$
$$b_1=4,\quad q=\frac12$$
$$b_6=b_1q^5=4\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac18.$$
$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{4\left(\left(\frac12\right)^6-1\right)}{\frac12-1}=\frac{63}{8}.$$
Для прогрессии $$1,\ \frac13,\ \frac19,\ldots$$ имеем $$b_1=1,\ q=\frac13.$$
$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{\left(\frac13\right)^5-1}{\frac13-1}=\frac{121}{81}.$$
$$a_n=2^{n^2-2},\quad a_n=128=2^7.$$
$$2^{n^2-2}=2^7 \Rightarrow n^2-2=7 \Rightarrow n^2=9 \Rightarrow n=3.$$
$$a_8=19,\quad a_{12}=31$$
$$a_8=a_1+7d,\quad a_{12}=a_1+11d.$$
$$19-7d=31-11d \Rightarrow 4d=12 \Rightarrow d=3.$$
$$a_1=19-7\cdot 3=-2.$$
$$a_{10}=a_1+9d=-2+27=25.$$
$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{-2+25}{2}\cdot 10=115.$$
$$S_6=10{,}5,\quad q=2.$$
$$S_6=b_1\frac{q^6-1}{q-1}=b_1\frac{2^6-1}{2-1}=63b_1.$$
Отсюда $$b_1=\frac{10{,}5}{63}=\frac16.$$
Тогда
$$S_3=b_1\frac{q^3-1}{q-1}=\frac16\cdot\frac{2^3-1}{2-1}=\frac76=1\frac16.$$
Пусть $$a_1=x,\quad a_2=3\sqrt{x},\quad a_3=5.$$
Так как это арифметическая прогрессия, то
$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$
$$2\cdot 3\sqrt{x}=x+5 \Rightarrow 6\sqrt{x}=x+5.$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда
$$6t=t^2+5 \Rightarrow t^2-6t+5=0 \Rightarrow (t-1)(t-5)=0.$$
$$t=1 \text{ или } t=5.$$
Следовательно,
$$x=1 \text{ или } x=25.$$
$$a_{n+2}=\frac{a_n+5a_{n+1}}{2},\quad a_1=-1,\quad a_2=3.$$
$$a_3=\frac{a_1+5a_2}{2}=\frac{-1+15}{2}=7,$$
$$a_4=\frac{a_2+5a_3}{2}=\frac{3+35}{2}=19.$$
Разности соседних членов:
$$a_2-a_1=3-(-1)=4,\quad a_3-a_2=7-3=4,\quad a_4-a_3=19-7=12.$$
Разности не постоянны, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.
$$a_2+a_4=6,\quad a_6\cdot a_7=99.$$
Пусть $$a_1=x,\ d=y.$$ Тогда
$$a_2=x+y,\quad a_4=x+3y,\quad a_6=x+5y,\quad a_7=x+6y.$$
Из первого уравнения:
$$x+y+x+3y=6 \Rightarrow 2x+4y=6 \Rightarrow x+2y=3,$$
то есть $$x=3-2y.$$
Подставим во второе:
$$\bigl((3-2y)+5y\bigr)\bigl((3-2y)+6y\bigr)=99,$$
$$ (3+3y)(3+4y)=99,$$
$$12y^2+21y-90=0,$$
$$4y^2+7y-30=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 4\cdot 30=529,\quad \sqrt D=23.$$
$$y_1=\frac{-7-23}{8}=-\frac{15}{4},\quad y_2=\frac{-7+23}{8}=2.$$
Тогда
$$x_1=3-2\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)=\frac{21}{2},\quad x_2=3-2\cdot 2=-1.$$
Значит, $$a_1=-1$$ или $$a_1=\frac{21}{2}.$$
Пусть $$b_1=x,\ q=t.$$ Тогда
$$S_3=x(1+t+t^2)=10{,}5,$$
$$b_1-b_4=x-xt^3=x(1-t^3)=31{,}5.$$
Делим второе равенство на первое:
$$\frac{1-t^3}{1+t+t^2}=3.$$
Так как $$1-t^3=(1-t)(1+t+t^2),$$ получаем
$$1-t=3 \Rightarrow t=-2.$$
Тогда
$$x(1-2+4)=10{,}5 \Rightarrow 3x=10{,}5 \Rightarrow x=3{,}5.$$
Следовательно, $$b_1=3{,}5,\ q=-2.$$
Пусть члены арифметической прогрессии: $$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d.$$
По условию они являются последовательными членами геометрической прогрессии, значит, средний член в квадрате равен произведению крайних:
$$a_1^2=(a_1+d)(a_1+2d).$$
$$a_1^2=a_1^2+3a_1d+2d^2 \Rightarrow 3a_1d+2d^2=0.$$
Так как члены различны, $$d\ne 0$$, значит
$$3a_1+2d=0 \Rightarrow 2d=-3a_1.$$
Знаменатель геометрической прогрессии:
$$q=\frac{a_1+2d}{a_1}=\frac{a_1-3a_1}{a_1}=-2.$$