Проверь себя к главе 2 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
а) у = 8/x-1;
б) у = корень 9 — x2 .
2. Построить график функции:
а) у = корень x;
б) y = 6/x;
в) у = -5/x;
г) у = х3.
Для каждой функции по графику найти: а) у(2); б) значение х, если у (х) = 3; в) промежутки, на которых у (х) > 0, у(х) < 0; г) промежутки возрастания, убывания.
3. Установить, чётной или нечётной является функция:
а) у = 3х6 + х2;
б) у = 8х5-х.
4. Найти область определения функции:
а) y = корень 4 степени 3-х;
б) y= корень 7-x/4-x2.
5. Построить график функции у= -4/x-2. Найти:
а) область определения этой функции;
б) промежутки, на которых функция возрастает;
в) значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;
г) корни уравнения -4/x-2 = 2 - х с помощью графиков функций у = -4/x-2 и у = 2-х.
6. Выяснить, является ли функция:
а) у = -2х3 + х |х| - 1;
6) у = 3х7 - х|х|;
в) у = х6 + х|х| +2 чётной; нечётной; ни чётной, ни нечётной.
7. Найти область определения функции у = 5 корень x/x-3 корень x.
8. Решить уравнение:
a) корень x - 3 = 5;
б) корень 3 - х - х2 = х.
9. Решить неравенство:
а) (х - 7)5 < 32;
б) корень 3 степени 1 - х < 2.
10. Доказать, что функция у = 2 корень 5х + 1 - 2 возрастает при х > =-0,2.
11. Построить график функции:
а) y = x+1/2-x;
б) у = |x+1| + |х-3|.
Найдём область определения.
а) $$y=\frac{8}{x-1}$$
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$x-1\ne 0,\quad x\ne 1.$$
б) $$y=\sqrt{9-x^2}$$
Подкоренное выражение неотрицательно:
$$9-x^2\ge 0,$$
$$x^2\le 9,$$
$$-3\le x\le 3.$$
Для функций $$y=\sqrt{x},\; y=\frac{6}{x},\; y=-\frac{5}{x},\; y=x^3$$ по графику получаем:
а) $$y(2)\approx 1{,}4,\quad y(x)=3 \text{ при } x=9,$$
$$y(x)>0 \text{ при } x>0,\quad y(x)<0 \text{ не бывает},$$
$$\text{возрастает на } [0;+\infty).$$
б) $$y(2)=3,\quad y(x)=3 \text{ при } x=2,$$
$$y(x)>0 \text{ при } x>0,\quad y(x)<0 \text{ при } x<0,$$
$$\text{убывает на } (-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
в) $$y(2)=-2{,}5,\quad y(x)=3 \text{ при } x\approx -1{,}7,$$
$$y(x)>0 \text{ при } x<0,\quad y(x)<0 \text{ при } x>0,$$
$$\text{возрастает на } (-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
г) $$y(2)=8,\quad y(x)=3 \text{ при } x\approx 1{,}4,$$
$$y(x)>0 \text{ при } x>0,\quad y(x)<0 \text{ при } x<0,$$
$$\text{возрастает на } (-\infty;+\infty).$$
Определим чётность функций.
а) $$y=3x^6+x^2,$$
$$y(-x)=3(-x)^6+(-x)^2=3x^6+x^2=y(x),$$
значит, функция чётная.
б) $$y=8x^5-x,$$
$$y(-x)=8(-x)^5-(-x)=-8x^5+x=-y(x),$$
значит, функция нечётная.
Найдём область определения.
а) $$y=\sqrt[4]{3-x}$$
$$3-x\ge 0,\quad x\le 3.$$
б) $$y=\sqrt{\frac{7-x}{4-x^2}}$$
Нужно, чтобы дробь под корнем была неотрицательной и знаменатель не равнялся нулю:
$$\frac{7-x}{4-x^2}\ge 0,\quad 4-x^2\ne 0.$$
Решение даёт:
$$-2<x<2,\quad x\ge 7.$$
Рассмотрим функцию $$y=-\frac{4}{x-2}.$$
а) Область определения:
$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
б) Функция возрастает на промежутках:
$$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
в) Знаки функции:
$$y(x)>0 \text{ при } x<2,\qquad y(x)<0 \text{ при } x>2.$$
г) Решим уравнение графически:
$$-\frac{4}{x-2}=2-x.$$
Точки пересечения графиков соответствуют значениям:
$$x=0,\quad x=4.$$
Определим чётность функций.
а) $$y=-2x^3+x|x|-1.$$
$$y(-x)=2x^3-x|x|-1,$$
функция ни чётная, ни нечётная.
б) $$y=3x^7-x|x|.$$
$$y(-x)=-3x^7+x|x|=-y(x),$$
функция нечётная.
в) $$y=x^6+x|x|+2.$$
$$y(-x)=x^6-x|x|+2,$$
функция ни чётная, ни нечётная.
Найдём область определения функции
$$y=\frac{5\sqrt{x}}{x-3\sqrt{x}}.$$
Сначала:
$$x\ge 0.$$
Затем знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x-3\sqrt{x}\ne 0,$$
$$\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)\ne 0,$$
$$\sqrt{x}\ne 0,\quad \sqrt{x}\ne 3,$$
$$x\ne 0,\quad x\ne 9.$$
Итак,
$$x\in(0;9)\cup(9;+\infty).$$
Решим уравнения.
а) $$\sqrt{x}-3=5,$$
$$\sqrt{x}=8,$$
$$x=64.$$
б) $$\sqrt{3-x-x^2}=x.$$
Возведём в квадрат:
$$3-x-x^2=x^2,$$
$$2x^2+x-3=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$x_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\qquad x_2=\frac{-1+5}{4}=1.$$
С учётом области допустимых значений подходит только $$x=1.$$
Решим неравенства.
а) $$\left(x-7\right)^5<32,$$
$$x-7<2,$$
$$x<9.$$
б) $$\sqrt[3]{1-x}<2,$$
$$1-x<8,$$
$$x>-7.$$
Докажем, что функция $$y=2\sqrt{5x+1}-2$$ возрастает при $$x\ge -0{,}2.$$
Если $$x_2>x_1\ge -0{,}2,$$ то
$$5x_2+1>5x_1+1\ge 0,$$
$$\sqrt{5x_2+1}>\sqrt{5x_1+1},$$
$$2\sqrt{5x_2+1}-2>2\sqrt{5x_1+1}-2,$$
то есть $$y(x_2)>y(x_1).$$
Следовательно, функция возрастает.
Построим графики функций.
а) $$y=\frac{x+1}{2-x}=-1-\frac{3}{x-2}.$$
Это гипербола с центром $$\left(2;-1\right).$$
б) $$y=|x+1|+|x-3|.$$
Если $$x\ge 3,$$ то
$$y=(x+1)+(x-3)=2x-2.$$
Если $$-1\le x<3,$$ то
$$y=(x+1)-(x-3)=4.$$
Если $$x<-1,$$ то
$$y=-(x+1)-(x-3)=-2x+2.$$
Ответ
1) а) $$x\ne 1$$; б) $$[-3;3]$$.
3) а) чётная; б) нечётная.
4) а) $$(-\infty;3]$$; б) $$(-2;2)\cup[7;+\infty)$$.
5) а) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$; б) возрастает на $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$; в) $$y>0$$ при $$x<2$$, $$y<0$$ при $$x>2$$; г) $$x=0,\;4$$.
6) а) ни чётная, ни нечётная; б) нечётная; в) ни чётная, ни нечётная.
7) $$x\in(0;9)\cup(9;+\infty)$$.
8) а) $$64$$; б) $$1$$.
9) а) $$x<9$$; б) $$x>-7$$.
10) функция возрастает при $$x\ge -0{,}2$$.
11) а) $$y=-1-\frac{3}{x-2}$$; б) $$y=\begin{cases}-2x+2,& x<-1,\\4,& -1\le x<3,\\2x-2,& x\ge 3.\end{cases}$$
