Практические и прикладные задачи к главе 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
2. Для полива 8 саженцев, расположенных по прямой линии на расстоянии 3 м друг от друга, приходится носить воду из колодца, распложенного на той же прямой на расстоянии 5 м от первого саженца (и на расстоянии 8 м от второго саженца). Сколько метров пути нужно преодолеть, чтобы полить все саженцы и возвратиться к колодцу, если воду носить одним ведром, а под каждый саженец выливать 2 ведра воды?
3. В крупных садоводческих хозяйствах ящики для яблок рекомендуется хранить в штабелях такой конструкции: в четырёх нижних рядах укладывают 35 ящиков по длине штабеля и 23 ящика по его ширине; при укладке каждого следующего ряда отступают от краёв предыдущего на половину длины и ширины одного ящика; всего в штабеле 22 ряда. Сколько ящиков в таком штабеле?
Указание. Подсчёт ящиков в рядах с 5-го по 22-й производить следующим образом:
(23 — 1) (35 — 1) + (23 — 2) (35 — 2) + … + (23 — 18) (35 — 18) = 23*35- 18 + (1^2 + 2^2 + … + 18^2) -58(1 + 2 + … + 18),
используя далее формулы суммы членов арифметической прогрессии и ранее доказанную формулу
1^2 + 2^2 + 3^2 + … n2 = 1/6n(n + 1) (2n + 1).
4. Шпиндель (вращающийся вал с устройством для закрепления заготовок) металлорежущих станков может вращаться с различной скоростью, причём все возможные частоты вращения шпинделя образуют геометрическую прогрессию. У токарно-винторезного станка 1К62 в наличии 23 частоты вращения шпинделя. Среди них наименьшая ^ = 12,5, а наибольшая л23 = 2000 оборотов в минуту. Найти п12.
5. Популяция кабанов в заповеднике каждый год увеличивается на 10%. По прошествии скольких лет число кабанов удвоится?
6. Определить длины сторон треугольника, которые выражаются целыми числами и являются последовательными членами арифметической прогрессии, если периметр треугольника равен: 1) 9; 2) 12; 3) 15; 4) 18.
7. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник, отличный от квадрата, если длины его сторон являются последовательными членами арифметической прогрессии?
8. Числовые значения величин внутренних углов (выраженных в градусах) некоторого многоугольника являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью d — 20°. Наибольший угол в этом многоугольнике равен 170°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?
9. (Задача из учебника «Арифметика» Л. Ф. Магницкого.) Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил её, говоря продавцу: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая этих денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи её подковные гвозди, лошадь же тогда получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 копейки, за второй — 1/2 копейки, за третий—1 копейку и т. д.». Покупатель, соблазнённый низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся заплатить не более 10 рублей. Во сколько в действительности обошлась такая покупка?»
10. Известно, что Вселенная расширяется, причём скорость v, с которой галактики удаляются друг от друга, увеличивается по закону линейного роста в зависимости от расстояния R между ними: v = HR, где Н=65 км/с * Мпк коэффициент пропорциональности, называемый постоянной Хаббла (Мпк. — мегапарсек — расстояние, которое свет проходит за 3,26 млн лет). Этот закон установил американский астроном Эдвин Пауэлл Хаббл (1889—1953) в 1929 г. Найти скорость удаления галактик, когда расстояние между ними составляет: 1 Мпк; 2 Мпк; 5 Мпк; 10 Мпк.
- Пусть стоимость первого метра равна $$a_1$$, тогда это арифметическая прогрессия с разностью $$d=500$$, а последний метр стоит в 2 раза дороже первого:
$$a_n=2a_1.$$
Средняя стоимость одного метра равна
$$ \frac{a_1+a_n}{2}=3750. $$
Тогда
$$ \frac{a_1+2a_1}{2}=3750,\quad 3a_1=7500,\quad a_1=2500. $$
Следовательно,
$$ a_n=5000. $$
Найдём число метров:
$$ a_n=a_1+(n-1)d, $$
$$ 5000=2500+500(n-1), $$
$$ 500(n-1)=2500,\quad n-1=5,\quad n=6. $$
Стоимость работы:
$$ S=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=3750\cdot 6=22500. $$ - Расстояния от колодца до саженцев образуют арифметическую прогрессию:
$$5,\ 8,\ 11,\ 14,\ 17,\ 20,\ 23,\ 26.$$
Сумма расстояний до всех 8 саженцев:
$$ S_8=\frac{5+26}{2}\cdot 8=124. $$
До каждого саженца нужно сходить и вернуться, значит путь вдвое больше:
$$ 2\cdot 124=248. $$
Так как под каждый саженец выливают 2 ведра воды, а воду носят одним ведром, то к каждому саженцу нужно сделать 2 рейса. Тогда общий путь:
$$ 2\cdot 248=496. $$ - Число ящиков в рядах образует сумму:
$$ S=4\cdot 35\cdot 23+\sum_{k=1}^{18}(35-k)(23-k). $$
Раскроем скобки:
$$ \sum_{k=1}^{18}(35-k)(23-k)=\sum_{k=1}^{18}\bigl(805-58k+k^2\bigr). $$
Тогда
$$ S=4\cdot 35\cdot 23+18\cdot 805-58(1+2+\dots+18)+(1^2+2^2+\dots+18^2). $$
Используем формулы:
$$ 1+2+\dots+18=\frac{18\cdot 19}{2}=171, $$
$$ 1^2+2^2+\dots+18^2=\frac{18\cdot 19\cdot 37}{6}=2109. $$
Тогда
$$ S=4\cdot 805+18\cdot 805-58\cdot 171+2109 $$
$$ =3220+14490-9918+2109=9901. $$ - Частоты вращения образуют геометрическую прогрессию:
$$n_1=12{,}5,\quad n_{23}=2000.$$
Тогда
$$ n_{23}=n_1q^{22}, $$
$$ 2000=12{,}5q^{22}, $$
$$ q^{22}=160. $$
Найдём $$q^{11}$$:
$$ q^{11}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}. $$
Тогда
$$ n_{12}=n_1q^{11}=12{,}5\cdot 4\sqrt{10}=50\sqrt{10}. $$ - По формуле роста:
$$ b_n=b_1\cdot 1{,}1^n. $$
Нужно, чтобы число кабанов удвоилось:
$$ 1{,}1^n=2. $$
Проверим:
$$ 1{,}1^7\approx 1{,}95,\qquad 1{,}1^8\approx 2{,}14. $$
Значит, удвоение произойдёт примерно через 8 лет. - Пусть стороны треугольника — последовательные члены арифметической прогрессии:
$$ a-d,\ a,\ a+d. $$
Тогда периметр равен
$$ (a-d)+a+(a+d)=3a. $$
Значит, средняя сторона должна быть равна $$a=\frac{p}{3}$$. Проверим случаи:- $$p=9$$: $$a=3$$, треугольник возможен: $$3,3,3$$ или $$2,3,4$$;
- $$p=12$$: $$a=4$$, возможны $$4,4,4$$ или $$3,4,5$$;
- $$p=15$$: $$a=5$$, возможны $$5,5,5$$, $$4,5,6$$, $$3,5,7$$;
- $$p=18$$: $$a=6$$, возможны $$6,6,6$$, $$5,6,7$$, $$4,6,8$$.
- Для четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон должны быть равны:
$$ a_1+a_3=a_2+a_4. $$
Если стороны — последовательные члены арифметической прогрессии:
$$ a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d, $$
то
$$ a+(a+2d)=(a+d)+(a+3d), $$
$$ 2a+2d=2a+4d, $$
$$ 2d=4d,\quad d=0. $$
Но по условию прогрессия не должна быть постоянной, значит такой четырёхугольник, отличный от квадрата, невозможен. - Пусть число сторон многоугольника равно $$n$$. Тогда наибольший угол — это последний член арифметической прогрессии:
$$ a_n=170^\circ,\quad d=20^\circ. $$
Первый угол:
$$ a_1=170^\circ-20^\circ(n-1)=190^\circ-20^\circ n. $$
Сумма внутренних углов:
$$ \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=(n-2)\cdot 180^\circ. $$
Подставим:
$$ \frac{190^\circ-20^\circ n+170^\circ}{2}\cdot n=180^\circ(n-2). $$
$$ (180^\circ-10^\circ n)n=180^\circ n-360^\circ. $$
$$ 180n-10n^2=180n-360, $$
$$ 10n^2=360, $$
$$ n^2=36,\quad n=6. $$ - Число гвоздей в подковах:
$$ 4\cdot 6=24. $$
Стоимость гвоздей образует геометрическую прогрессию:
$$ \frac14,\ \frac12,\ 1,\ 2,\dots $$
где $$b_1=\frac14,\ q=2$$. Тогда
$$ S_{24}=\frac{b_1(q^{24}-1)}{q-1} =\frac{\frac14(2^{24}-1)}{1} =\frac{2^{24}-1}{4}. $$
Так как $$2^{24}=16777216$$, получаем
$$ S_{24}=\frac{16777216-1}{4}=4194303{,}75\text{ коп.} $$
Это
$$ 41943{,}0375\text{ руб.} $$ - По закону Хаббла
$$ v=HR,\quad H=65\ \text{км/с на Мпк}. $$
Тогда:
$$ v(1)=65\ \text{км/с}, $$
$$ v(2)=130\ \text{км/с}, $$
$$ v(5)=325\ \text{км/с}, $$
$$ v(10)=650\ \text{км/с}. $$
Ответ
- $$6\text{ м},\ 22500\text{ руб.}$$
- $$496\text{ м}$$
- $$9901\text{ ящик}$$
- $$50\sqrt{10}$$
- $$8\text{ лет}$$
- $$3,3,3;\ 2,3,4;\ 4,4,4;\ 3,4,5;\ 5,5,5;\ 4,5,6;\ 3,5,7;\ 6,6,6;\ 5,6,7;\ 4,6,8$$
- Нет, если четырёхугольник не является квадратом.
- $$6$$
- $$41943{,}0375\text{ руб.}$$
- $$65\text{ км/с},\ 130\text{ км/с},\ 325\text{ км/с},\ 650\text{ км/с}$$
