Упр.99 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции:
   1) $$y=\frac{2x}{x^2-2x-3}$$;
   2) $$y=\left(\frac{2x+4}{3-x}\right)^{\frac{1}{6}}$$;
   3) $$y=\left(3x^2-2x+5\right)^{\frac{1}{8}}$$;
   4) $$y=\left(x^2-7x+10\right)^{\frac{1}{6}}$$.

1. $$y=\frac{2x}{x^2-2x-3}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2-2x-3\ne 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$$

   Тогда:

   $$x\ne 3,\quad x\ne -1$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;3)\cup(3;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt[6]{\frac{2x+4}{3-x}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля:

   $$\frac{2x+4}{3-x}\ge 0,\quad x\ne 3$$

   Преобразуем дробь:

   $$\frac{2(x+2)}{3-x}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=3$$.

   Исследование знаков даёт:

   $$-2\le x<3$$

   Значит,

   $$D(y)=[-2;3).$$

3. $$y=\sqrt[8]{3x^2-2x+5}$$

   Для чётного корня нужно:

   $$3x^2-2x+5\ge 0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 5=4-60=-56<0$$

   Так как $$a=3>0$$ и дискриминант отрицателен, квадратный трёхчлен всегда положителен.

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

4. $$y=\sqrt[6]{x^2-7x+10}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2-7x+10\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$$

   Тогда:

   $$(x-2)(x-5)\ge 0$$

   Отсюда:

   $$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 5$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;2]\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-1)\cup(-1;3)\cup(3;+\infty)$$

2) $$[-2;3)$$

3) $$(-\infty;+\infty)$$

4) $$(-\infty;2]\cup[5;+\infty)$$