Упр.82 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (1/v3)^(2x+1)=(3v3)^x; 2) (2^(1/3))^(x-1)=(2/2^(1/3))^2x;
3) 9^(3x+4)v3=27^(x-1)/v3; 4) 8/(v2)^x=4^(3x-2)v2.

1. $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2x+1}=(3\sqrt{3})^x$$

   Представим всё в виде степеней числа $$3$$:

   $$\left(3^{-1/2}\right)^{2x+1}=\left(3^{3/2}\right)^x$$
   $$3^{-\frac{2x+1}{2}}=3^{\frac{3x}{2}}$$

   Приравниваем показатели:

   $$-\frac{2x+1}{2}=\frac{3x}{2}$$
   $$-2x-1=3x$$
   $$5x=-1$$
   $$x=-\frac{1}{5}$$

2. $$\left(\sqrt[3]{2}\right)^{x-1}=\left(\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\right)^{2x}$$

   Запишем через основание $$2$$:

   $$\left(2^{1/3}\right)^{x-1}=\left(2^{1-\frac13}\right)^{2x}$$
   $$2^{\frac{x-1}{3}}=2^{\frac{4x}{3}}$$

   Приравниваем показатели:

   $$\frac{x-1}{3}=\frac{4x}{3}$$
   $$x-1=4x$$
   $$-1=3x$$
   $$x=-\frac{1}{3}$$

3. $$9^{3x+4}\sqrt{3}=\frac{27^{x-1}}{\sqrt{3}}$$

   Представим всё как степени числа $$3$$:

   $$\left(3^2\right)^{3x+4}\cdot 3^{1/2}=\left(3^3\right)^{x-1}\cdot 3^{-1/2}$$
   $$3^{2(3x+4)+1/2}=3^{3(x-1)-1/2}$$

   Приравниваем показатели:

   $$2(3x+4)+\frac12=3(x-1)-\frac12$$
   $$6x+8+\frac12=3x-3-\frac12$$
   $$6x+\frac{17}{2}=3x-\frac{7}{2}$$
   $$3x=-12$$
   $$x=-4$$

4. $$\frac{8}{(\sqrt{2})^x}=4^{3x-2}\sqrt{2}$$

   Запишем через основание $$2$$:

   $$\frac{2^3}{\left(2^{1/2}\right)^x}=\left(2^2\right)^{3x-2}\cdot 2^{1/2}$$
   $$2^{3-\frac{x}{2}}=2^{2(3x-2)+\frac12}$$

   Приравниваем показатели:

   $$3-\frac{x}{2}=6x-4+\frac12$$
   $$3-\frac{x}{2}=6x-\frac{7}{2}$$
   $$6-\!x=12x-7$$
   $$13=13x$$
   $$x=1$$

Ответ

1) $$-\frac{1}{5}$$; 2) $$-\frac{1}{3}$$; 3) $$-4$$; 4) $$1$$.