Упр.802 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 802. Вдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А и С). Буксир прошёл путь от А до С за 4 ч. На каждом из участков АВ и ВС собственная скорость буксира (скорость относительно воды) была постоянна, причём на участке ВС в 1 2/3 — раза больше, чем на участке АВ. Обратный путь от С до А буксир прошёл также за 4 ч, и на всём пути его собственная скорость была в 2 раза больше, чем при движении из А в В. Если бы на обратном пути собственная скорость буксира была такой же, как и при движении из В в С, то участок от С до В он прошёл бы за 3 ч. Сколько времени буксир шёл от А до В?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ собственную скорость буксира на участке $$AB$$, через $$v$$ — скорость течения реки, через $$S_1=AB$$ и $$S_2=BC$$.

Тогда по условию составим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{S_1}{x+v}+\dfrac{S_2}{\frac{5}{3}x+v}=4,\\[6pt] \dfrac{S_1+S_2}{2x-v}=4,\\[6pt] \dfrac{S_2}{\frac{5}{3}x-v}=3. \end{cases} $$

Введём новые переменные:

$$ y_1=\dfrac{v}{S_1},\quad z_1=\dfrac{x}{S_1},\quad y_2=\dfrac{v}{S_2},\quad z_2=\dfrac{x}{S_2}. $$

Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} \dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{1}{y_2+\frac{5}{3}z_2}=4,\\[6pt] \dfrac{1}{2z_1-y_1}+\dfrac{1}{2z_2-y_2}=4,\\[6pt] \dfrac{1}{\frac{5}{3}z_2-y_2}=3. \end{cases} $$

Из третьего уравнения:

$$ 3\left(\dfrac{5}{3}z_2-y_2\right)=1, $$
$$ 5z_2-3y_2=1, $$
$$ z_2=\dfrac{1+3y_2}{5}. $$

Так как $$\dfrac{y_1}{z_1}=\dfrac{y_2}{z_2}$$, то

$$ \dfrac{y_1}{z_1}=\dfrac{5y_2}{1+3y_2}. $$

Из первого уравнения системы получаем:

$$ \dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{1}{y_2+\frac{5}{3}\cdot \dfrac{1+3y_2}{5}}=4, $$
$$ \dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{1}{\dfrac{1+6y_2}{3}}=4, $$
$$ \dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{3}{1+6y_2}=4, $$
$$ \dfrac{1}{y_1+z_1}=\dfrac{24y_2+1}{6y_2+1}, $$
$$ y_1+z_1=\dfrac{6y_2+1}{24y_2+1}. $$

Из второго уравнения системы:

$$ \dfrac{1}{2z_1-y_1}+\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1+3y_2}{5}-y_2}=4, $$
$$ \dfrac{1}{2z_1-y_1}+\dfrac{5}{2+y_2}=4, $$
$$ \dfrac{1}{2z_1-y_1}=\dfrac{8+4y_2-5}{2+y_2}, $$
$$ 2z_1-y_1=\dfrac{2+y_2}{3+4y_2}. $$

Разделим второе полученное равенство на первое:

$$ \dfrac{2z_1-y_1}{y_1+z_1}=\dfrac{\frac{2+y_2}{3+4y_2}}{\frac{6y_2+1}{24y_2+1}}. $$

После преобразований получаем:

$$ 84y_2^2+5y_2-1=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=5^2+4\cdot 84=361, $$
$$ y_2=\dfrac{-5\pm 19}{168}. $$

Подходит только положительный корень:

$$ y_2=\dfrac{14}{168}=\dfrac{1}{12}. $$

Тогда время прохождения участка $$AB$$:

$$ t=\dfrac{1}{y_1+z_1}=\dfrac{24y_2+1}{6y_2+1} =\dfrac{24\cdot \frac{1}{12}+1}{6\cdot \frac{1}{12}+1} =\dfrac{2+1}{\frac{1}{2}+1}=2. $$