Упр.801 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 801. Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между А и В. Первая встреча их произошла через 42 мин после начала движения, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль первый раз окажутся одновременно в пункте А?

Обозначим скорости автобуса и автомобиля через $$u$$ и $$v$$, а время, за которое они проходят путь $$AB$$, через $$t$$ и $$\tau$$ соответственно. Тогда

$$u=\frac{S}{t}, \qquad v=\frac{S}{\tau}.$$

Из условия первой встречи через $$42$$ мин получаем:

$$42(u+v)=S,$$

то есть

$$\frac{1}{t}+\frac{1}{\tau}=\frac{1}{42}.$$

Из условия первого обгона через $$2\text{ ч }34\text{ мин}=154$$ мин следует:

$$154(v-u)=S,$$

значит

$$\frac{1}{\tau}-\frac{1}{t}=\frac{1}{154}.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} \frac{1}{t}+\frac{1}{\tau}=\frac{1}{42},\\ \frac{1}{\tau}-\frac{1}{t}=\frac{1}{154}. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$\frac{2}{\tau}=\frac{1}{42}+\frac{1}{154}=\frac{4}{231},$$

откуда

$$\tau=\frac{231}{2}=115{,}5\text{ мин}.$$

Тогда

$$\frac{1}{t}=\frac{1}{42}-\frac{1}{\tau}=\frac{1}{42}-\frac{2}{231}=\frac{1}{66},$$

следовательно,

$$t=66\text{ мин}.$$

Автобус и автомобиль одновременно окажутся в пункте $$A$$, когда автобус сделает $$2m$$ рейсов, а автомобиль — $$2n+1$$ рейсов. Тогда

$$115{,}5\cdot 2m=66\cdot(2n+1).$$

Умножим на $$2$$:

$$231m=66(2n+1),$$

$$7m=2(2n+1).$$

Так как $$m$$ — целое число, то $$2n+1$$ кратно $$7$$. Берём наименьшее значение:

$$2n+1=7,\qquad m=2.$$

Тогда время их одновременного прибытия в пункт $$A$$:

$$T=2m\cdot 115{,}5=231\cdot 2=462\text{ мин}=7\text{ ч }42\text{ мин}.$$

Ответ

$$7\text{ ч }42\text{ мин}.$$