Упр.800 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 800. Дорога проходит через пункты А и В. Одновременно и в одном направлении выехали: из А — мотоциклист (в направлении к В), из В — велосипедист. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии а километров от В. Если бы мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из А в В, то в момент прибытия мотоциклиста в В велосипедист отставал бы от него на b километров. Определить расстояние между пунктами А и В.

Обозначим через $$S$$ расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$, через $$v$$ — скорость мотоциклиста, через $$w$$ — скорость велосипедиста.

Пусть $$C$$ — точка встречи, тогда $$BC=a$$, а при втором условии через время движения мотоциклиста до пункта $$B$$ велосипедист отстанет от него на $$b$$ км, то есть $$DB=b$$.

Из первого условия получаем равенство времен до встречи:

$$\frac{S+a}{v}=\frac{a}{w}.$$

Из второго условия:

$$\frac{S}{v}=\frac{S-b}{w}.$$

Приравняем отношения скоростей:

$$\frac{S+a}{a}=\frac{S}{S-b}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$ (S+a)(S-b)=Sa $$

$$ S^2-Sb+aS-ab=Sa $$

$$ S^2-Sb-ab=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=b^2+4ab, $$

$$ S=\frac{b\pm\sqrt{b^2+4ab}}{2}. $$

Так как расстояние положительно, берём положительный корень:

$$ S=\frac{b+\sqrt{b^2+4ab}}{2}. $$

Ответ

$$\frac{b+\sqrt{b^2+4ab}}{2}\text{ км}.$$