Упр.800 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Дорога проходит через пункты $$A$$ и $$B$$. Одновременно и в одном направлении выехали: из $$A$$ — мотоциклист (в направлении к $$B$$), из $$B$$ — велосипедист. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии $$a$$ километров от $$B$$. Если бы мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из $$A$$ в $$B$$, то в момент прибытия мотоциклиста в $$B$$ велосипедист отставал бы от него на $$b$$ километров. Определить расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$.

Обозначим через $$S$$ расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$, через $$v$$ — скорость мотоциклиста, через $$w$$ — скорость велосипедиста.

Пусть $$C$$ — точка встречи, тогда $$BC=a$$, а при втором условии через время движения мотоциклиста до пункта $$B$$ велосипедист отстанет от него на $$b$$ км, то есть $$DB=b$$.

Из первого условия получаем равенство времен до встречи:

$$\frac{S+a}{v}=\frac{a}{w}.$$

Из второго условия:

$$\frac{S}{v}=\frac{S-b}{w}.$$

Приравняем отношения скоростей:

$$\frac{S+a}{a}=\frac{S}{S-b}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$(S+a)(S-b)=Sa$$

$$S^2-Sb+aS-ab=Sa$$

$$S^2-Sb-ab=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=b^2+4ab,$$

$$S=\frac{b\pm\sqrt{b^2+4ab}}{2}.$$

Так как расстояние положительно, берём положительный корень:

$$S=\frac{b+\sqrt{b^2+4ab}}{2}.$$

Ответ

$$\frac{b+\sqrt{b^2+4ab}}{2}\text{ км}.$$