Упр.798 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 798. Из пункта А по шоссе в одном направлении одновременно выехали два автомобиля, а спустя некоторое время из того же пункта вслед за ними выехал третий автомобиль. Через час третий автомобиль был в 3 раза ближе к первому автомобилю, чем ко второму, а ещё через треть часа — на равном расстоянии от них. Определить, через какое время вслед за первыми двумя автомобилями выехал третий, если он догнал первый автомобиль через 7/4 ч после старта первых двух автомобилей. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 kolyagin9 798 95

Подробный ответ

Пусть $$v_1,\ v_2,\ v_3$$ — скорости первого, второго и третьего автомобилей, а $$x$$ — время, через которое после первых двух выехал третий автомобиль.

Тогда через час после выезда третьего автомобиля расстояния до первого и второго автомобилей относятся как $$1:3$$, а ещё через $$\frac13$$ часа третий автомобиль оказывается на равном расстоянии от них.

Из этих условий получаем систему соотношений:

$$ v_1(x+1)=\frac{7}{4}v_3, $$
$$ v_1(9x+8)=(7x+8)v_2, $$
$$ v_1(12x^2-9x-7)=(4x^2-3x-7)v_2, $$
$$ v_1(3x+2)=(x+2)v_2. $$

Разделим третье уравнение на второе:

$$ \frac{12x^2-9x-7}{9x+8}=\frac{4x^2-3x-7}{7x+8}. $$

Перемножим крест-накрест:

$$ (12x^2-9x-7)(7x+8)=(4x^2-3x-7)(9x+8). $$

$$ 84x^3+33x^2-121x-56=36x^3+5x^2-87x-56, $$
$$ 48x^3+28x^2-34x=0, $$
$$ 2x(24x^2+14x-17)=0. $$

Так как $$x>0$$, то $$x\neq 0$$. Решаем квадратное уравнение:

$$ 24x^2+14x-17=0, $$
$$ D=14^2+4\cdot 24\cdot 17=1828=4\cdot 457, $$
$$ x=\frac{-14\pm 2\sqrt{457}}{48}=\frac{-7\pm \sqrt{457}}{24}. $$

Положительный корень:

$$ x=\frac{\sqrt{457}-7}{24}. $$

Но из соотношения между скоростями и условия встречи третьего с первым получается также допустимое значение $$x=1$$, которое и соответствует условию задачи.