Упр.797 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Обозначим через $$s$$ расстояние от $$A$$ до $$B$$, через $$t_0$$ и $$t_1$$ — время движения от $$A$$ до $$B$$ соответственно катера и автобуса, через $$t_2$$ — время движения катера от $$B$$ до $$A$$.

По условию первый раз автобус прибыл в пункт $$B$$ на $$16$$ мин позже катера, значит

$$t_0=t_1+\frac{16}{60}=t_1+\frac{4}{15}.$$

Из условия первой встречи:

$$\frac{5}{9}t_0=t_1+\frac{4}{9}t_2.$$

Подставим $$t_0=t_1+\frac{4}{15}$$:

$$\frac{5}{9}\left(t_1+\frac{4}{15}\right)=t_1+\frac{4}{9}t_2$$

$$\frac{4}{9}t_2=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{15}-\frac{4}{9}t_1$$

$$t_2=\frac{1}{3}-t_1.$$

Из условия второй встречи:

$$t_0+\frac{1}{8}t_0=t_1+t_2+\frac{7}{8}t_1.$$

Тогда

$$\frac{9}{8}t_0=\frac{15}{8}t_1+t_2.$$

Подставим найденные выражения для $$t_0$$ и $$t_2$$:

$$\frac{9}{8}\left(t_1+\frac{4}{15}\right)=\frac{15}{8}t_1+\left(\frac{1}{3}-t_1\right)$$

$$\frac{9}{8}t_1+\frac{3}{10}=\frac{7}{8}t_1+\frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{4}t_1=\frac{1}{30}$$

$$t_1=\frac{2}{15}, \qquad t_0=\frac{2}{15}+\frac{4}{15}=\frac{2}{5}, \qquad t_2=\frac{1}{3}-\frac{2}{15}=\frac{1}{5}.$$

Полный круг автобус и катер делают за время:

$$T_1=t_0+t_0=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5},$$

$$T_2=t_1+t_2=\frac{2}{15}+\frac{1}{5}=\frac{1}{3}.$$

Пусть через $$T$$ часов после начала движения они одновременно окажутся в пункте $$A$$. Тогда автобус сделает $$m$$ рейсов, а катер — $$n$$ рейсов, и

$$\frac{4}{5}m=\frac{1}{3}n.$$

Отсюда

$$12m=5n.$$

Минимальные натуральные числа: $$m=5$$, $$n=12$$. Тогда

$$T=\frac{4}{5}\cdot 5=4.$$

Ответ

$$4$$ часа.