Упр.785 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 785. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а ещё через 30 мин — мотоциклист. В некоторое время все трое оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста. На сколько минут раньше пешехода прибыл в В велосипедист?

Обозначим скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста через $$u,\ v,\ w$$ км/ч, а расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$ через $$s$$ км. Пусть через $$t$$ часов после выезда мотоциклиста все трое оказались на одинаковом расстоянии от пункта $$A$$.

Тогда к этому моменту пешеход шёл $$t+2{,}5$$ ч, велосипедист — $$t+0{,}5$$ ч, мотоциклист — $$t$$ ч. Из условия равенства расстояний получаем:

$$wt=v(t+0{,}5)=u(t+2{,}5).$$

Из условия прибытия в пункт $$B$$:

$$\frac{s}{u}=\frac{s}{w}+1{,}5,$$

то есть

$$\frac{s}{u}-\frac{s}{w}=1{,}5.$$

Введём обозначения:

$$x=\frac{s}{u},\quad y=\frac{s}{v},\quad z=\frac{s}{w}.$$

Тогда

$$x-z=1{,}5,$$

а из равенства скоростей и расстояний:

$$\frac{z}{t}=\frac{x}{t+2{,}5},\qquad \frac{y}{t+0{,}5}=\frac{x}{t+2{,}5}.$$

Из первого уравнения:

$$\frac{x-1{,}5}{t}=\frac{x}{t+2{,}5}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$ (x-1{,}5)(t+2{,}5)=xt $$

$$xt+2{,}5x-1{,}5t-3{,}75=xt$$

$$2{,}5x=1{,}5t+3{,}75.$$

Отсюда

$$x=\frac{3}{5}t+\frac{3}{2}.$$

Теперь найдём $$y$$:

$$\frac{y}{t+0{,}5}=\frac{x}{t+2{,}5},$$

значит

$$y=\frac{x(t+0{,}5)}{t+2{,}5}.$$

Подставим найденное выражение для $$x$$ и используем разность времени прибытия велосипедиста и пешехода:

$$x-y-2=\frac{s}{u}-\frac{s}{v}-2.$$

После подстановки получаем:

$$x-y-2=\frac{4}{5}\text{ ч}=\frac{48}{60}\text{ ч}.$$

Значит, велосипедист прибыл в пункт $$B$$ на $$48$$ минут раньше пешехода.

Ответ

48 мин.