Упр.783 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 783. Последовательность определяется при n > 2 рекуррентной формулой x_n=(?+?)x_(n-1)-??x_(n-2), где ?, ?, x_1, х_2 — заданные числа, такие, что ???0, ???. Найти формулу n-го члена x_n.

Преобразуем рекуррентную формулу:

$$x_n=(\alpha+\beta)x_{n-1}-\alpha\beta x_{n-2}$$

$$x_n-\alpha x_{n-1}=\beta(x_{n-1}-\alpha x_{n-2})$$

Обозначим

$$y_n=x_n-\alpha x_{n-1}.$$

Тогда

$$y_n=\beta y_{n-1},$$

то есть последовательность $$y_n$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$\beta$$.

Найдём первый член:

$$y_2=x_2-\alpha x_1.$$

Следовательно,

$$y_n=y_2\beta^{n-2}=(x_2-\alpha x_1)\beta^{n-2}.$$

Теперь вернёмся к определению $$y_n$$:

$$x_n-\alpha x_{n-1}=(x_2-\alpha x_1)\beta^{n-2}.$$

Разделим на $$\beta^{n-1}$$ и введём

$$z_n=\frac{x_n}{\beta^{n-1}}.$$

Тогда получим линейную рекурсию первого порядка:

$$z_n=\frac{\alpha}{\beta}z_{n-1}+\frac{x_2-\alpha x_1}{\beta}.$$

Используем формулу суммы геометрической прогрессии и получаем:

$$z_n=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n-1}z_1+\frac{x_2-\alpha x_1}{\beta}\cdot \frac{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n-1}-1}{\frac{\alpha}{\beta}-1}.$$

Так как $$z_1=x_1,$$ то после упрощения имеем:

$$x_n=\frac{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}\,x_2-\alpha\beta x_1\cdot \frac{\alpha^{n-2}-\beta^{n-2}}{\alpha-\beta}.$$

Ответ

$$x_n=\frac{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}\,x_2-\alpha\beta x_1\cdot \frac{\alpha^{n-2}-\beta^{n-2}}{\alpha-\beta}.$$