Упр.782 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a_1=a_2=a_3=1$$, $$a_4=-1$$ и $$a_n=a_{n-4}\cdot a_{n-3}$$ при $$n>4$$. Найти $$a_{2000}$$.

Заметим, что все первые члены последовательности равны $$\pm 1$$. Тогда при любом $$n$$ имеем $$a_n^2=1$$, то есть каждый член последовательности равен либо $$1$$, либо $$-1$$.

Преобразуем рекуррентную формулу:

$$a_n=a_{n-4}\cdot a_{n-3}.$$

Тогда

$$a_{n-4}=a_{n-8}\cdot a_{n-7}, \qquad a_{n-3}=a_{n-7}\cdot a_{n-6},$$

и значит

$$a_n=(a_{n-8}\cdot a_{n-7})(a_{n-7}\cdot a_{n-6})=a_{n-8}\cdot a_{n-6}.$$

Аналогично продолжаем преобразования:

$$a_n=a_{n-8}\cdot a_{n-6}=a_{n-12}\cdot a_{n-10}=a_{n-14}\cdot a_{n-11}=a_{n-15}.$$

Следовательно, последовательность периодична с периодом $$15$$, поэтому

$$a_{2000}=a_{2000-15\cdot 133}=a_5.$$

Найдём $$a_5$$:

$$a_5=a_1\cdot a_2=1\cdot 1=1.$$

Ответ

$$1$$