Упр.782 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 782. Пусть a_1=a_2=a_3=1, a_4=-1 и a_n=a_(n-4)·a_(n-3) при n > 4. Найти a_2000.

Заметим, что все первые члены последовательности равны $$\pm 1$$. Тогда при любом $$n$$ имеем $$a_n^2=1$$, то есть каждый член последовательности равен либо $$1$$, либо $$-1$$.

Преобразуем рекуррентную формулу:

$$ a_n=a_{n-4}\cdot a_{n-3}. $$

Тогда

$$ a_{n-4}=a_{n-8}\cdot a_{n-7}, \qquad a_{n-3}=a_{n-7}\cdot a_{n-6}, $$

и значит

$$ a_n=(a_{n-8}\cdot a_{n-7})(a_{n-7}\cdot a_{n-6})=a_{n-8}\cdot a_{n-6}. $$

Аналогично продолжаем преобразования:

$$ a_n=a_{n-8}\cdot a_{n-6}=a_{n-12}\cdot a_{n-10}=a_{n-14}\cdot a_{n-11}=a_{n-15}. $$

Следовательно, последовательность периодична с периодом $$15$$, поэтому

$$ a_{2000}=a_{2000-15\cdot 133}=a_5. $$

Найдём $$a_5$$:

$$ a_5=a_1\cdot a_2=1\cdot 1=1. $$

Ответ

$$1$$