Упр.781 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 781. Последовательность x_1, x_2, …, x_n, … удовлетворяет при всяком n > 1 условию x_(n+1)-2x_n+x_(n-1)=1. Выразить x_n через x_1, x_2 и n.

Преобразуем данное условие:

$$x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=1$$

$$x_{n+1}-x_n=x_n-x_{n-1}+1.$$

Обозначим

$$z_n=x_n-x_{n-1}.$$

Тогда

$$z_{n+1}=z_n+1,$$

то есть последовательность $$z_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$1$$.

Её первый член:

$$z_2=x_2-x_1.$$

Следовательно,

$$z_n=z_2+(n-2)=x_2-x_1+n-2.$$

Теперь найдём $$x_n$$:

$$x_n-x_1=(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+\dots+(x_n-x_{n-1})$$

$$=z_2+z_3+\dots+z_n.$$

Сумма $$n-1$$ членов арифметической прогрессии равна

$$x_n-x_1=\frac{z_2+z_n}{2}(n-1).$$

Подставим $$z_2=x_2-x_1$$ и $$z_n=x_2-x_1+n-2$$:

$$x_n-x_1=\frac{(x_2-x_1)+(x_2-x_1+n-2)}{2}(n-1).$$

Упростим:

$$x_n-x_1=(n-1)(x_2-x_1)+\frac{(n-2)(n-1)}{2}.$$

Тогда

$$x_n=(n-1)x_2-(n-2)x_1+\frac{(n-2)(n-1)}{2}.$$

Ответ

$$x_n=(n-1)x_2-(n-2)x_1+\frac{(n-2)(n-1)}{2}.$$