Упр.780 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Последовательность определяется рекуррентной формулой $$x_n=ax_{n-1}+b$$, где $$a$$, $$b$$, $$x$$ — заданные числа. Найти формулу $$n$$-го члена $$x_n$$ и формулу суммы $$n$$ первых членов $$S_n$$.

Рассмотрим рекуррентную последовательность $$x_n=ax_{n-1}+b.$$

1) Найдём разность соседних членов.

$$x_k-x_{k-1}=ax_{k-1}+b-(ax_{k-2}+b)=a(x_{k-1}-x_{k-2}).$$

Повторяя это, получаем:

$$x_k-x_{k-1}=a^{k-2}(x_2-x_1).$$

2) Формула n-го члена.

Сложим равенства:

$$(x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots+(x_2-x_1)$$
$$=\bigl(1+a+a^2+\cdots+a^{n-2}\bigr)(x_2-x_1).$$

Так как $$x_2=ax_1+b,$$ то $$x_2-x_1=(a-1)x_1+b.$$ Тогда при $$a\ne 1$$

$$x_n-x_1=\frac{a^{n-1}-1}{a-1}\bigl((a-1)x_1+b\bigr),$$

откуда

$$x_n=a^{n-1}x_1+b\cdot\frac{a^{n-1}-1}{a-1}.$$

3) Формула суммы первых n членов.

$$S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n.$$

Подставим рекуррентную формулу:

$$S_n=x_1+(ax_1+b)+(ax_2+b)+\cdots+(ax_{n-1}+b).$$

Тогда

$$S_n=x_1+a(x_1+x_2+\cdots+x_{n-1})+(n-1)b,$$

то есть

$$S_n=x_1+a(S_n-x_n)+(n-1)b.$$

Следовательно,

$$S_n(1-a)=x_1-ax_n+(n-1)b.$$

Подставляя найденное выражение для $$x_n$$, получаем при $$a\ne 1$$:

$$S_n=\frac{(n-1)b}{1-a}+\frac{ab(a^{n-1}-1)}{(1-a)^2}+\frac{x_1(1-a^n)}{1-a}.$$

4) Случай $$a=1$$.

Тогда

$$x_n=x_{n-1}+b,$$

и значит

$$x_n=x_1+(n-1)b.$$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{x_1+x_n}{2}\cdot n=\left(x_1+\frac{(n-1)b}{2}\right)n.$$

Ответ

$$x_n=a^{n-1}x_1+b\cdot\frac{a^{n-1}-1}{a-1}, \quad a\ne 1;$$
$$S_n=\frac{(n-1)b}{1-a}+\frac{ab(a^{n-1}-1)}{(1-a)^2}+\frac{x_1(1-a^n)}{1-a}, \quad a\ne 1;$$
$$x_n=x_1+(n-1)b,\quad S_n=\left(x_1+\frac{(n-1)b}{2}\right)n,\quad a=1.$$