Упр.780 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 780. Последовательность определяется рекуррентной формулой x_n=ax_(n-1)+b, где a, b, x — заданные числа. Найти формулу n-го члена x_n и формулу суммы n первых членов S_n.

Рассмотрим рекуррентную последовательность $$x_n=ax_{n-1}+b.$$

1) Найдём разность соседних членов.

$$ x_k-x_{k-1}=ax_{k-1}+b-(ax_{k-2}+b)=a(x_{k-1}-x_{k-2}). $$

Повторяя это, получаем:

$$ x_k-x_{k-1}=a^{k-2}(x_2-x_1). $$

2) Формула n-го члена.

Сложим равенства:

$$ (x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots+(x_2-x_1) $$
$$ =\bigl(1+a+a^2+\cdots+a^{n-2}\bigr)(x_2-x_1). $$

Так как $$x_2=ax_1+b,$$ то $$x_2-x_1=(a-1)x_1+b.$$ Тогда при $$a\ne 1$$

$$ x_n-x_1=\frac{a^{n-1}-1}{a-1}\bigl((a-1)x_1+b\bigr), $$

откуда

$$ x_n=a^{n-1}x_1+b\cdot\frac{a^{n-1}-1}{a-1}. $$

3) Формула суммы первых n членов.

$$ S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n. $$

Подставим рекуррентную формулу:

$$ S_n=x_1+(ax_1+b)+(ax_2+b)+\cdots+(ax_{n-1}+b). $$

Тогда

$$ S_n=x_1+a(x_1+x_2+\cdots+x_{n-1})+(n-1)b, $$

то есть

$$ S_n=x_1+a(S_n-x_n)+(n-1)b. $$

Следовательно,

$$ S_n(1-a)=x_1-ax_n+(n-1)b. $$

Подставляя найденное выражение для $$x_n$$, получаем при $$a\ne 1$$:

$$ S_n=\frac{(n-1)b}{1-a}+\frac{ab(a^{n-1}-1)}{(1-a)^2}+\frac{x_1(1-a^n)}{1-a}. $$

4) Случай $$a=1$$.

Тогда

$$ x_n=x_{n-1}+b, $$

и значит

$$ x_n=x_1+(n-1)b. $$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$ S_n=\frac{x_1+x_n}{2}\cdot n=\left(x_1+\frac{(n-1)b}{2}\right)n. $$

Ответ

$$ x_n=a^{n-1}x_1+b\cdot\frac{a^{n-1}-1}{a-1}, \quad a\ne 1; $$
$$ S_n=\frac{(n-1)b}{1-a}+\frac{ab(a^{n-1}-1)}{(1-a)^2}+\frac{x_1(1-a^n)}{1-a}, \quad a\ne 1; $$
$$ x_n=x_1+(n-1)b,\quad S_n=\left(x_1+\frac{(n-1)b}{2}\right)n,\quad a=1. $$