Упр.779 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 779. Найти сумму 6+66+666+…+666…6, где последнее слагаемое есть n-значное число.

Запишем каждое слагаемое через степени числа $10$:

$$ 6= \frac{6}{9}\cdot 9,\quad 66=\frac{6}{9}\cdot 99,\quad 666=\frac{6}{9}\cdot 999,\ \ldots $$

Тогда

$$ 6+66+666+\cdots+ \underbrace{66\ldots6}_{n\text{-значное}} = \frac{6}{9}(9+99+999+\cdots+\underbrace{99\ldots9}_{n\text{-значное}}) $$

Каждое число вида $99\ldots9$ можно представить как

$$ 99\ldots9=10+10^2+10^3+\cdots+10^n-1. $$

Поэтому

$$ \frac{6}{9}(9+99+999+\cdots+99\ldots9) = \frac{2}{3}\bigl((10-1)+(10+10^2-1)+\cdots+(10+10^2+\cdots+10^n-n)\bigr). $$

Соберём одинаковые степени:

$$ S=\frac{2}{3}\left(10+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\right). $$

Сумма геометрической прогрессии:

$$ 10+10^2+\cdots+10^n=\frac{10(10^n-1)}{10-1}=\frac{10^{n+1}-10}{9}. $$

Тогда

$$ S=\frac{2}{3}\left(\frac{10^{n+1}-10}{9}-n\right). $$

Ответ

$$ \frac{2}{3}\left(\frac{10^{n+1}-10}{9}-n\right) $$