Упр.779 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Найти сумму $$6+66+666+\dots+666\dots6$$, где последнее слагаемое есть $$n$$-значное число.

Запишем каждое слагаемое через степени числа $$10$$:

$$6= \frac{6}{9}\cdot 9,\quad 66=\frac{6}{9}\cdot 99,\quad 666=\frac{6}{9}\cdot 999,\ \ldots$$

Тогда

$$6+66+666+\cdots+ \underbrace{66\ldots6}_{n\text{-значное}} = \frac{6}{9}(9+99+999+\cdots+\underbrace{99\ldots9}_{n\text{-значное}})$$

Каждое число вида $$99\ldots9$$ можно представить как

$$99\ldots9=10+10^2+10^3+\cdots+10^n-1.$$

Поэтому

$$\frac{6}{9}(9+99+999+\cdots+99\ldots9) = \frac{2}{3}\bigl((10-1)+(10+10^2-1)+\cdots+(10+10^2+\cdots+10^n-n)\bigr).$$

Соберём одинаковые степени:

$$S=\frac{2}{3}\left(10+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\right).$$

Сумма геометрической прогрессии:

$$10+10^2+\cdots+10^n=\frac{10(10^n-1)}{10-1}=\frac{10^{n+1}-10}{9}.$$

Тогда

$$S=\frac{2}{3}\left(\frac{10^{n+1}-10}{9}-n\right).$$

Ответ

$$\frac{2}{3}\left(\frac{10^{n+1}-10}{9}-n\right)$$