Упр.778 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 778. Найти сумму S_n=1+2x+3x^2+4x^3+…+(n+1)x^n.

Рассмотрим сумму

$$S_n=1+2x+3x^2+4x^3+\dots+(n+1)x^n.$$

1) Если $$x\ne 1$$, умножим сумму на $$1-x$$:

$$ S_n(1-x)=(1-x)+(2x-2x^2)+(3x^2-3x^3)+\dots+(n+1)(x^n-x^{n+1}). $$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$$ S_n(1-x)=1+x+x^2+\dots+x^n-(n+1)x^{n+1}. $$

Сумма геометрической прогрессии равна

$$ 1+x+x^2+\dots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}. $$

Тогда

$$ S_n(1-x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-(n+1)x^{n+1} =\frac{1-x^{n+1}-(n+1)x^{n+1}(1-x)}{1-x}. $$

Упростим числитель:

$$ 1-x^{n+1}-(n+1)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2} =1-(n+2)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2}. $$

Следовательно,

$$ S_n=\frac{1-(n+2)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2}}{(1-x)^2}. $$

2) Если $$x=1$$, то

$$ S_n=1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(1+(n+1))(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. $$

Ответ

$$ S_n=\frac{1-(n+2)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2}}{(1-x)^2},\quad x\ne 1; $$

$$ S_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2},\quad x=1. $$