Упр.777 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) S_(n+k)-S_n=q^n S_k; 2) S_n(S_(3n)-S(2n))=(S_(2n)-S_n)^2.

Обозначим через $$b_1,b_2,\dots,b_n,\dots$$ члены геометрической прогрессии с знаменателем $$q$$, а через $$S_n$$ — сумму первых $$n$$ её членов.

1. Докажем, что $$S_{n+k}-S_n=q^nS_k.$$

   Имеем:

   $$S_{n+k}=b_1+b_2+\dots+b_n+b_{n+1}+\dots+b_{n+k}$$
   $$S_n=b_1+b_2+\dots+b_n$$

   Тогда

   $$S_{n+k}-S_n=b_{n+1}+b_{n+2}+\dots+b_{n+k}.$$

   Так как прогрессия геометрическая, то

   $$b_{n+1}=b_1q^n,\quad b_{n+2}=b_2q^n,\quad \dots,\quad b_{n+k}=b_kq^n.$$

   Следовательно,

   $$S_{n+k}-S_n=q^n(b_1+b_2+\dots+b_k)=q^nS_k.$$

2. Докажем, что $$S_n(S_{3n}-S_{2n})=(S_{2n}-S_n)^2.$$

   По формуле из пункта 1 при $$k=n$$ получаем:

   $$S_{2n}-S_n=q^nS_n.$$

   Аналогично, при $$n \to 2n$$ и $$k=n$$:

   $$S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}S_n.$$

   Тогда

   $$S_n(S_{3n}-S_{2n})=S_n\cdot q^{2n}S_n=q^{2n}S_n^2,$$

   а также

   $$(S_{2n}-S_n)^2=(q^nS_n)^2=q^{2n}S_n^2.$$

   Следовательно,

   $$S_n(S_{3n}-S_{2n})=(S_{2n}-S_n)^2.$$

Ответ

$$S_{n+k}-S_n=q^nS_k,$$
$$S_n(S_{3n}-S_{2n})=(S_{2n}-S_n)^2.$$