Упр.776 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) если S_m=S_n, то S_(m+n)=0; 2) S_(n+3)=3S_(n+2)-3S_(n+1)+S_n;
3) если S_m/S_n, то a_m/a_n=(2m-1)/(2n-1); 4) S_(3n)=3(S_(2n)-S_n).

Подробный ответ

Для арифметической прогрессии
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
Если $$S_m=S_n,$$ то
$$ \frac{2a_1+d(m-1)}{2}\cdot m=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. $$
Умножим на $$2$$ и преобразуем:
$$ 2a_1m+d(m^2-m)=2a_1n+d(n^2-n), $$
$$ 2a_1(m-n)+d(m^2-m-n^2+n)=0, $$
$$ (m-n)\bigl(2a_1+d(m+n-1)\bigr)=0. $$
Так как $$m\ne n,$$ получаем
$$2a_1+d(m+n-1)=0.$$
Тогда
$$ S_{m+n}=\frac{2a_1+d(m+n-1)}{2}\cdot (m+n)=0. $$
Пусть
$$S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n.$$
Тогда
$$ S_{n+3}-S_n=3(S_{n+2}-S_{n+1}). $$
Но
$$ S_{n+3}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}, $$
$$ S_{n+2}-S_{n+1}=a_{n+2}. $$
Следовательно,
$$ a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=3a_{n+2}. $$
Так как в арифметической прогрессии $$a_{n+1}+a_{n+3}=2a_{n+2},$$ то
$$ a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=a_{n+2}+2a_{n+2}=3a_{n+2}. $$
Равенство верно.
Если
$$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2},$$
то
$$ \frac{\frac{2a_1+d(m-1)}{2}\cdot m}{\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n}=\frac{m^2}{n^2}. $$
После сокращения получаем
$$ \frac{2a_1+d(m-1)}{2a_1+d(n-1)}=\frac{m}{n}. $$
Перемножим крест-накрест:
$$ n\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr)=m\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr). $$
$$ 2a_1(n-m)+d(nm-n-mn+m)=0, $$
$$ (n-m)(2a_1-d)=0. $$
Если $$m=n,$$ то равенство очевидно. Если же $$m\ne n,$$ то
$$2a_1=d.$$
Тогда
$$ \frac{a_m}{a_n}=\frac{a_1+d(m-1)}{a_1+d(n-1)} =\frac{a_1+2a_1(m-1)}{a_1+2a_1(n-1)} =\frac{2m-1}{2n-1}. $$
Докажем, что
$$S_{3n}=3(S_{2n}-S_n).$$
Запишем суммы через первый член и разность прогрессии:
$$ S_{3n}=\frac{3}{2}\bigl(2a_1+d(3n-1)\bigr), $$
$$ S_{2n}=\frac{2n}{2}\bigl(2a_1+d(2n-1)\bigr), $$
$$ S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr). $$
Тогда
$$ 3(S_{2n}-S_n) =3\left(\frac{2n}{2}\bigl(2a_1+d(2n-1)\bigr)-\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)\right). $$
Упростим:
$$ 3(S_{2n}-S_n) =\frac{3n}{2}\bigl(2a_1+d(2n-1)-2a_1-d(n-1)\bigr) =\frac{3n}{2}\bigl(dn\bigr). $$
С другой стороны,
$$ S_{3n}=\frac{3n}{2}\bigl(2a_1+d(3n-1)\bigr). $$
Следовательно,
$$ S_{3n}=3(S_{2n}-S_n). $$