Упр.775 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если положительные числа $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то $$\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}.$$

Пусть $$a_1,a_2,\ldots,a_n$$ — члены арифметической прогрессии с разностью $$d$$. Тогда

$$a_k=a_1+(k-1)d,\qquad a_{k+1}=a_1+kd.$$

Рассмотрим общий член суммы:

$$\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}})(\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{a_{k+1}-a_k}.$$

Так как $$a_{k+1}-a_k=d$$, получаем

$$\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}}=\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{d}.$$

Тогда левая часть равенства равна

$$S=\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}$$

$$S=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}+\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{d}+\cdots+\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}}{d}.$$

Сумма телескопическая, поэтому

$$S=\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{d}.$$

Теперь преобразуем правую часть:

$$\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}} = \frac{(n-1)(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1})}{a_n-a_1}.$$

Но для арифметической прогрессии

$$a_n-a_1=(n-1)d,$$

значит

$$\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}} = \frac{(n-1)(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1})}{(n-1)d} = \frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{d}.$$

Следовательно, левая и правая части равны, что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}.$$