Упр.774 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 774. Доказать, что если положительные числа a, b, c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа 1/(vb+vc), 1/(vc+va), 1/(va+vb) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Пусть $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда

$$b-a=c-b.$$

Обозначим

$$x=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \quad y=\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \quad z=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$

Докажем, что $$x, y, z$$ — члены арифметической прогрессии, то есть $$2y=x+z$$.

Рассмотрим разность соседних членов:

$$ y-z=\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}. $$

Аналогично

$$ x-y=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}. $$

Теперь преобразуем произведения:

$$ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})=b-a, $$

$$ (\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})=c-b. $$

Так как $$b-a=c-b$$, то

$$ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})=(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}). $$

Следовательно,

$$ \frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}. $$

Отсюда получаем равенство разностей:

$$x-y=y-z,$$

значит, числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

Доказано.