Упр.774 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
- Доказать, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа $$\frac{1}{vb+vc}$$, $$\frac{1}{vc+va}$$, $$\frac{1}{va+vb}$$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Пусть $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда
$$b-a=c-b.$$
Обозначим
$$x=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \quad y=\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \quad z=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$
Докажем, что $$x, y, z$$ — члены арифметической прогрессии, то есть $$2y=x+z$$.
Рассмотрим разность соседних членов:
$$y-z=\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}.$$
Аналогично
$$x-y=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}.$$
Теперь преобразуем произведения:
$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})=b-a,$$
$$(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})=c-b.$$
Так как $$b-a=c-b$$, то
$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})=(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$
Следовательно,
$$\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}.$$
Отсюда получаем равенство разностей:
$$x-y=y-z,$$
значит, числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Ответ
Доказано.
