Упр.773 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 773. Найти четыре числа, первые три из которых являются последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних чисел равна 18.

Обозначим искомые числа через $$a,\ b,\ c,\ d.$$ Тогда по условию

$$a+d=21,\qquad b+c=18.$$

Так как $$b,\ c,\ d$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$c=\frac{b+d}{2}.$$

Подставим $$d=21-a$$ и $$c=18-b$$:

$$18-b=\frac{b+21-a}{2}.$$

Умножим на 2:

$$36-2b=b+21-a,$$

откуда

$$a=3b-15.$$

Теперь используем свойство геометрической прогрессии для чисел $$a,\ b,\ c$$:

$$b^2=ac.$$

Подставим найденные выражения:

$$b^2=(3b-15)(18-b).$$

Раскроем скобки:

$$b^2=54b-3b^2-270+15b,$$

$$4b^2-69b+270=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=69^2-4\cdot 4\cdot 270=4761-4320=441,$$

$$b=\frac{69\pm 21}{8}.$$

Получаем:

$$b_1=6,\qquad b_2=\frac{45}{4}.$$

1) Если $$b=6,$$ то

$$a=3\cdot 6-15=3,\qquad c=18-6=12,\qquad d=21-3=18.$$

2) Если $$b=\frac{45}{4},$$ то

$$a=3\cdot \frac{45}{4}-15=\frac{75}{4},$$

$$c=18-\frac{45}{4}=\frac{27}{4},$$

$$d=21-\frac{75}{4}=\frac{9}{4}.$$

Ответ

$$3,\ 6,\ 12,\ 18$$ или $$\frac{75}{4},\ \frac{45}{4},\ \frac{27}{4},\ \frac{9}{4}.$$