Упр.772 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 772. Три числа, сумма которых равна 28, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии. Если из этих чисел вычесть соответственно 1, 3 и 9, то полученные числа будут последовательными членами арифметической прогрессии. Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии.

Пусть данные числа равны $$a,\ b,\ c.$$ Тогда

$$a+b+c=28.$$

Так как после вычитания $$1,\ 3,\ 9$$ получаются последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$b-3=\frac{(a-1)+(c-9)}{2}.$$

Подставим $$a=28-b-c$$:

$$b-3=\frac{28-b-c-1+c-9}{2}=\frac{18-b}{2}.$$

Тогда

$$2b-6=18-b,$$

$$3b=24,$$

$$b=8.$$

Теперь из условия геометрической прогрессии имеем

$$b^2=ac.$$

Значит,

$$64=ac.$$

Так как $$a+c=28-b=20,$$ то числа $$a$$ и $$c$$ — корни уравнения

$$t^2-20t+64=0.$$

$$D=20^2-4\cdot 64=400-256=144,$$

$$t=\frac{20\pm 12}{2}.$$

Получаем

$$t_1=4,\quad t_2=16.$$

Следовательно, возможны две геометрические прогрессии:

$$16,\ 8,\ 4 \quad \text{или} \quad 4,\ 8,\ 16.$$

1) Если $$a_1=16,\ q=\frac{8}{16}=\frac12,$$ то

$$S_{10}=\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{16\left(1-\left(\frac12\right)^{10}\right)}{1-\frac12}$$

$$=32\left(1-\frac{1}{1024}\right)=32\cdot \frac{1023}{1024}=\frac{1023}{32}.$$

2) Если $$a_1=4,\ q=\frac{8}{4}=2,$$ то

$$S_{10}=\frac{a_1(q^{10}-1)}{q-1}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092.$$

Ответ

$$\frac{1023}{32}$$ или $$4092$$.