Упр.771 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 771. Три числа, сумма которых равна 24, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 2 и 7, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа.

Подробный ответ

Пусть $$a, b, c$$ — данные числа. Тогда

$$a+b+c=24.$$

Так как эти числа — последовательные члены арифметической прогрессии, то средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

Из условия $$a=24-b-c$$, поэтому

$$b=\frac{24-b-c+c}{2}=\frac{24-b}{2}.$$

Тогда

$$2b=24-b,$$

$$3b=24,$$

$$b=8.$$

Следовательно,

$$a+c=16,$$

то есть

$$a=16-c.$$

После прибавления к числам $$2, 2, 7$$ получаем последовательные члены геометрической прогрессии, значит квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$\left(b+2\right)^2=\left(a+2\right)\left(c+7\right).$$

Подставим $$b=8$$ и $$a=16-c$$:

$$10^2=(16-c+2)(c+7),$$

$$100=(18-c)(c+7).$$

Раскроем скобки:

$$100=18c+126-c^2-7c,$$

$$c^2-11c-26=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-11)^2-4\cdot 1\cdot(-26)=121+104=225,$$

$$c=\frac{11\pm 15}{2}.$$

Отсюда

$$c_1=13,\quad c_2=-2.$$