Упр.770 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство: $$\sqrt{1-x^2}+1<\sqrt{3-x^2}$$.
2. $$x+4>2\sqrt{4-x^2}$$.
3. $$\sqrt{x^2-6x}<8+2x$$.
4. $$2-3x<\sqrt{4+9x-9x^2}$$.
5. $$\frac{2x+3}{\sqrt{6x^2+7x-3}}<2$$.
6. $$\frac{2-\sqrt{x+3}}{x-1}>-\frac{1}{3}$$.

1. $$\sqrt{1-x^2}+1<\sqrt{3-x^2}$$

   Область определения:
   $$1-x^2\ge 0,\quad 3-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 1.$$

   Перенесём единицу и возведём в квадрат:
   $$\sqrt{1-x^2}<\sqrt{3-x^2}-1$$
   $$1-x^2<3-x^2-2\sqrt{3-x^2}+1$$
   $$2\sqrt{3-x^2}<3$$
   $$4(3-x^2)<9$$
   $$12-4x^2<9$$
   $$4x^2-3>0$$
   $$(2x-\sqrt3)(2x+\sqrt3)>0.$$

   Тогда
   $$x<-\frac{\sqrt3}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{\sqrt3}{2}.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x\in\left[-1;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2};1\right].$$

2. $$x+4>2\sqrt{4-x^2}$$

   ОДЗ:
   $$4-x^2\ge 0 \Rightarrow -2\le x\le 2.$$

   Возведём в квадрат:
   $$(x+4)^2>4(4-x^2)$$
   $$x^2+8x+16>16-4x^2$$
   $$5x^2+8x>0$$
   $$x(5x+8)>0.$$
   Отсюда
   $$x<-\frac85 \quad \text{или}\quad x>0.$$

   С учётом ОДЗ:
   $$x\in\left[-2;-\frac85\right)\cup(0;2].$$

3. $$\sqrt{x^2-6x}<8+2x$$

   ОДЗ:
   $$x^2-6x\ge 0 \Rightarrow x(x-6)\ge 0 \Rightarrow x\le 0 \;\text{или}\; x\ge 6.$$

   Правая часть должна быть положительной:
   $$8+2x>0 \Rightarrow x>-4.$$

   Возведём в квадрат:
   $$x^2-6x<(8+2x)^2$$
   $$x^2-6x<64+32x+4x^2$$
   $$3x^2+38x+64>0$$
   $$(3x+8)(x+8)>0.$$
   Отсюда
   $$x<-\frac83 \quad \text{или}\quad x>-8.$$

   Пересекаем с ОДЗ:
   $$x\in(-4;0]\cup[6;+\infty).$$

4. $$2-3x<\sqrt{4+9x-9x^2}$$

   ОДЗ:
   $$4+9x-9x^2\ge 0.$$

   Возведём в квадрат:
   $$(2-3x)^2<4+9x-9x^2$$
   $$4-12x+9x^2<4+9x-9x^2$$
   $$18x^2-21x<0$$
   $$3x(6x-7)<0$$
   $$0<x<\frac76.$$

   Теперь учтём ОДЗ:
   $$4+9x-9x^2\ge 0$$
   $$9x^2-9x-4\le 0$$
   $$\left(x+\frac13\right)\left(x-\frac43\right)\le 0$$
   $$-\frac13\le x\le \frac43.$$

   Пересечение даёт:
   $$x\in\left(0;\frac76\right).$$

5. $$\frac{2x+3}{\sqrt{6x^2+7x-3}}<2$$

   ОДЗ:
   $$6x^2+7x-3>0.$$

   Так как знаменатель положителен, умножим на него:
   $$2x+3<2\sqrt{6x^2+7x-3}$$
   $$(2x+3)^2<4(6x^2+7x-3)$$
   $$4x^2+12x+9<24x^2+28x-12$$
   $$20x^2+16x-21>0$$
   $$(10x+21)(2x-1)>0.$$
   Отсюда
   $$x<-\frac{21}{10}\quad \text{или}\quad x>\frac12.$$

   С учётом ОДЗ получаем:
   $$x\in\left(-\infty;-\frac{21}{10}\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$

6. $$\frac{2-\sqrt{x+3}}{x-1}>-\frac13$$

   ОДЗ:
   $$x+3\ge 0,\quad x\ne 1.$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$x>1$$, то знаменатель положителен:
   $$3(2-\sqrt{x+3})>-(x-1)$$
   $$6-3\sqrt{x+3}>1-x$$
   $$x+5>3\sqrt{x+3}$$
   $$(x+5)^2>9(x+3)$$
   $$x^2+x-2>0$$
   $$(x+2)(x-1)>0.$$
   При $$x>1$$ это верно для всех таких $$x$$.

   2) Если $$-3\le x<1$$, то знаменатель отрицателен, и после умножения знак неравенства меняется:
   $$3(2-\sqrt{x+3})<-(x-1)$$
   $$6-3\sqrt{x+3}<1-x$$
   $$x+5<3\sqrt{x+3}.$$
   После возведения в квадрат получаем
   $$x^2+x-2<0$$
   $$-2<x<1.$$

   Объединяя случаи, получаем:
   $$x\in(-2;1)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in\left[-1;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2};1\right]$$

2) $$x\in\left[-2;-\frac85\right)\cup(0;2]$$

3) $$x\in(-4;0]\cup[6;+\infty)$$

4) $$x\in\left(0;\frac76\right)$$

5) $$x\in\left(-\infty;-\frac{21}{10}\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)$$

6) $$x\in(-2;1)\cup(1;+\infty)$$