Упр.769 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (17-42x)/(5x^2-7x+2) > 6; 2) (15-4x)/(x^2-x-12) < 4; 3) (x^4-3x^2-4)/(x^4+8x^2-9) > 0; 4) (x^3-5x^2-x+5)/(x^3+2x^2-9x-18) < 0; 5) |x^2-4x|?3x-6; 6) |x^2-2x-3| < |x+1|.

1. $$\frac{17-42x}{5x^2-7x+2}>6$$
   $$\frac{17-42x-6(5x^2-7x+2)}{5x^2-7x+2}>0$$
   $$\frac{-30x^2+42x+5x-12-17}{5x^2-7x+2}>0$$
   $$\frac{-30x^2+47x-29}{(5x-2)(x-1)}>0$$
   $$\frac{30x^2-47x+29}{(5x-2)(x-1)}<0$$ Дискриминант числителя: $$D=47^2-4\cdot 30\cdot 29=2209-3480<0,$$ значит $$30x^2-47x+29>0$$ при всех $$x$$. Тогда нужно, чтобы
   $$(5x-2)(x-1)<0.$$ Отсюда $$\frac25
2. $$\frac{15-4x}{x^2-x-12}<4$$ $$\frac{15-4x-4(x^2-x-12)}{x^2-x-12}<0$$ $$\frac{63-4x^2}{(x-4)(x+3)}<0$$ $$\frac{(2x-3\sqrt7)(2x+3\sqrt7)}{(x-4)(x+3)}<0.$$ Критические точки: $$x=-3,\; x=-\frac{3\sqrt7}{2},\; x=\frac{3\sqrt7}{2},\; x=4.$$ По знакам получаем: $$x\in\left(-\infty,-\frac{3\sqrt7}{2}\right)\cup\left(-3,\frac{3\sqrt7}{2}\right)\cup(4,+\infty).$$
3. $$\frac{x^4-3x^2-4}{x^4+8x^2-9}>0$$
   $$\frac{(x^2-4)(x^2+1)}{(x^2-1)(x^2+9)}>0$$
   Так как $$x^2+1>0$$ и $$x^2+9>0$$ при всех $$x$$, имеем
   $$\frac{x^2-4}{x^2-1}>0.$$
   Тогда
   $$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)}>0.$$
   По знакам:
   $$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,1)\cup(2,+\infty).$$
4. $$\frac{x^3-5x^2-x+5}{x^3+2x^2-9x-18}<0$$ $$\frac{(x-5)(x^2-1)}{(x+2)(x^2-9)}<0$$ $$\frac{(x-5)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-3)(x+3)}<0.$$ Критические точки: $$x=-3,\,-2,\,-1,\,1,\,3,\,5.$$ По знакам: $$x\in(-3,-2)\cup(-1,1)\cup(3,5).$$
5. $$|x^2-4x|\le 3x-6$$
   Правая часть должна быть неотрицательной:
   $$3x-6\ge 0,\quad x\ge 2.$$
   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x^2-4x\ge 0$$, то $$x\le 0$$ или $$x\ge 4$$. При $$x\ge 4$$:

   $$x^2-4x\le 3x-6$$
   $$x^2-7x+6\le 0$$
   $$(x-1)(x-6)\le 0$$
   $$1\le x\le 6.$$
   С учётом $$x\ge 4$$ получаем $$4\le x\le 6$$.

   2) Если $$x^2-4x<0$$, то $$0<x<4$$. Тогда

   $$-(x^2-4x)\le 3x-6$$
   $$x^2-x-6\ge 0$$
   $$(x+2)(x-3)\ge 0$$
   $$x\le -2 \text{ или } x\ge 3.$$
   С учётом $$0<x<4$$ получаем $$3\le x<4.$$

   Итак,
   $$x\in[3,6].$$

6. $$|x^2-2x-3|<|x+1|$$ $$| (x-3)(x+1) |<|x+1|$$ Если $$x=-1$$, то левая и правая части равны $$0$$, неравенство неверно. При $$x\ne -1$$ делим на $$|x+1|$$: $$|x-3|<1.$$ Тогда $$-1

Ответ

1) $$x\in\left(\frac25,1\right)$$;
2) $$x\in\left(-\infty,-\frac{3\sqrt7}{2}\right)\cup\left(-3,\frac{3\sqrt7}{2}\right)\cup(4,+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,1)\cup(2,+\infty)$$;
4) $$x\in(-3,-2)\cup(-1,1)\cup(3,5)$$;
5) $$x\in[3,6]$$;
6) $$x\in(2,4)$$.