Упр.768 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Построить график функции:
   1) $$y=\lvert x-2\rvert+\lvert x+4\rvert$$;
   2) $$y=\lvert x-3\rvert-\lvert x-1\rvert$$;
   3) $$y=\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}$$;
   4) $$y=\sqrt{x^2+10x+25}-\sqrt{x^2-2x+1}$$;
   5) $$y=\frac{3x-2}{\lvert x-1\rvert}$$;
   6) $$y=\frac{2\lvert x\rvert-1}{\lvert x\rvert-4}$$;
   7) $$y=\frac{1}{x^2-x-2}$$;
   8) $$y=\frac{1}{x^2-\lvert x\rvert}$$.

1. $$y=|x-2|+|x+4|$$

   Рассмотрим промежутки, на которых знаки выражений под модулем постоянны:

   $$y= \begin{cases} -2x-2, & x<-4,\\ 6, & -4\le x<2,\\ 2x+2, & x\ge 2. \end{cases}$$

2. $$y=|x-3|-|x-1|$$

   Тогда

   $$y= \begin{cases} 2, & x<1,\\ 4-2x, & 1\le x<3,\\ -2, & x\ge 3. \end{cases}$$

3. $$y=\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=|x+2|+|x-3|$$

   Следовательно,

   $$y= \begin{cases} -2x+1, & x<-2,\\ 5, & -2\le x<3,\\ 2x-1, & x\ge 3. \end{cases}$$

4. $$y=\sqrt{x^2+10x+25}-\sqrt{x^2-2x+1}=|x+5|-|x-1|$$

   Тогда

   $$y= \begin{cases} -6, & x<-5,\\ 2x+4, & -5\le x<1,\\ 6, & x\ge 1. \end{cases}$$

5. $$y=\dfrac{3x-2}{|x-1|}$$

   При $$x>1$$ имеем

   $$y=\dfrac{3x-2}{x-1}=3+\dfrac{1}{x-1}.$$

   При $$x<1$$ имеем

   $$y=\dfrac{3x-2}{-(x-1)}=-3+\dfrac{1}{1-x}.$$

   Область определения: $$x\ne 1$$. Вертикальная асимптота: $$x=1$$.

6. $$y=\dfrac{2|x|-1}{|x|-4}$$

   Функция чётная, так как зависит только от $$|x|$$. При $$x\ge 0$$:

   $$y=\dfrac{2x-1}{x-4}=2+\dfrac{7}{x-4}.$$

   Асимптоты: $$x=\pm 4$$, $$y=2$$.

7. $$y=\dfrac{1}{x^2-x-2}=\dfrac{1}{(x+1)(x-2)}$$

   Область определения: $$x\ne -1,\; x\ne 2$$. Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=2$$. Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.

8. $$y=\dfrac{1}{x^2-|x|}$$

   Функция чётная. При $$x\ge 0$$:

   $$y=\dfrac{1}{x^2-x}=\dfrac{1}{x(x-1)}.$$

   Область определения: $$x\ne -1,\; x\ne 0,\; x\ne 1$$. Вертикальные асимптоты: $$x=-1,\; x=0,\; x=1$$. Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.

Ответ

1) $$y= \begin{cases} -2x-2, & x<-4,\\ 6, & -4\le x<2,\\ 2x+2, & x\ge 2 \end{cases}$$
; 2) $$y= \begin{cases} 2, & x<1,\\ 4-2x, & 1\le x<3,\\ -2, & x\ge 3 \end{cases}$$
; 3) $$y= \begin{cases} -2x+1, & x<-2,\\ 5, & -2\le x<3,\\ 2x-1, & x\ge 3 \end{cases}$$
; 4) $$y= \begin{cases} -6, & x<-5,\\ 2x+4, & -5\le x<1,\\ 6, & x\ge 1 \end{cases}$$
; 5) $$x\ne 1$$, асимптота $$x=1$$; 6) $$x\ne \pm 4$$, асимптоты $$x=\pm 4$$, $$y=2$$; 7) $$x\ne -1,2$$, асимптоты $$x=-1$$, $$x=2$$, $$y=0$$; 8) $$x\ne -1,0,1$$, асимптоты $$x=-1$$, $$x=0$$, $$x=1$$, $$y=0$$.