Упр.767 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Сократить дробь: 1) $$\frac{a^3-2a^2+5a+26}{a^3-5a^2+17a-13}$$; 2) $$\frac{2a^4+a^3+4a^2+a+2}{2a^3-a^2+a-2}$$.

1) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$a^3-2a^2+5a+26=a^3+2a^2-4a^2-8a+13a+26$$

$$=a^2(a+2)-4a(a+2)+13(a+2)$$

$$=(a+2)(a^2-4a+13)$$

$$a^3-5a^2+17a-13=a^3-a^2-4a^2+4a+13a-13$$

$$=a^2(a-1)-4a(a-1)+13(a-1)$$

$$=(a-1)(a^2-4a+13)$$

Тогда

$$\frac{a^3-2a^2+5a+26}{a^3-5a^2+17a-13} = \frac{(a+2)(a^2-4a+13)}{(a-1)(a^2-4a+13)} = \frac{a+2}{a-1}.$$

2) Аналогично:

$$2a^4+a^3+4a^2+a+2=2a^4+2a^2+a^3+a+2a^2+2$$

$$=2a^2(a^2+1)+a(a^2+1)+2(a^2+1)$$

$$=(a^2+1)(2a^2+a+2)$$

$$2a^3-a^2+a-2=2a^3-2a^2+a^2-2a+a-2$$

$$=2a^2(a-1)+a(a-1)+2(a-1)$$

$$=(a-1)(2a^2+a+2)$$

Следовательно,

$$\frac{2a^4+a^3+4a^2+a+2}{2a^3-a^2+a-2} = \frac{(a^2+1)(2a^2+a+2)}{(a-1)(2a^2+a+2)} = \frac{a^2+1}{a-1}.$$

Ответ

1) $$\frac{a+2}{a-1}$$; 2) $$\frac{a^2+1}{a-1}$$.