Упр.766 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 766. Представить многочлен x^8+x^4+1 в виде произведения трёх многочленов с целыми коэффициентами.

Используем формулу разности степеней:

$$x^{12}-1=(x^4-1)(x^8+x^4+1).$$

Тогда

$$x^8+x^4+1=\frac{x^{12}-1}{x^4-1}.$$

Разложим числитель и знаменатель:

$$x^{12}-1=(x^6-1)(x^6+1),$$

$$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).$$

Далее

$$x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1),$$

$$x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1).$$

Подставим и сократим общие множители:

$$ x^8+x^4+1= \frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)} {(x-1)(x+1)(x^2+1)} $$

$$ =(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1). $$

Ответ

$$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^4-x^2+1\right).$$