Упр.765 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 765. Доказать, что при всех действительных значениях x справедливо неравенство x^12-x^9+x^4-x+1 > 0.

Рассмотрим выражение

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1.$$

Докажем, что оно положительно при всех действительных значениях $$x$$.

1) Если $$x \ge 1$$, то $$x^3-1 \ge 0$$ и $$x^9 \ge x^4$$. Тогда

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1 = x^9(x^3-1)+x(x^3-1)+1 \ge 1.$$

Значит, в этом случае

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1>0.$$

2) Если $$0<x<1$$, то $$1-x>0$$, $$1-x^5>0$$ и $$x^{12}>0$$. Перепишем выражение так:

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1=(1-x)+x^4(1-x^5)+x^{12}.$$

Каждое слагаемое справа неотрицательно, а первое и третье — положительны, значит

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1>0.$$

3) Если $$x \le 0$$, то $$-x \ge 0$$, $$x^{12}\ge 0$$, $$x^4\ge 0$$, а также $$-x^9\ge 0$$. Поэтому

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1 \ge 1.$$

Следовательно, и здесь

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1>0.$$

Итак, неравенство верно при всех действительных $$x$$.

Ответ

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$