Упр.764 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 764. Пусть a, b, c — положительные числа, такие, что abc=1. Доказать, что (1+a)(1+b)(1+c)?8.

Раскроем скобки:

$$ (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc. $$

Так как $$abc=1$$, то

$$ (1+a)(1+b)(1+c)=2+(a+b+c)+(ab+ac+bc). $$

По неравенству Коши для положительных чисел имеем:

$$ \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}=1 \Rightarrow a+b+c\ge 3, $$

$$ \frac{ab+ac+bc}{3}\ge \sqrt[3]{(ab)(ac)(bc)}=\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1 \Rightarrow ab+ac+bc\ge 3. $$

Тогда

$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 2+3+3=8. $$

Равенство достигается при $$a=b=c=1$$.

Ответ

$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 8. $$