Упр.764 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a$$, $$b$$, $$c$$ — положительные числа, такие, что $$abc=1$$. Доказать, что $$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8$$.

Раскроем скобки:

$$(1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc.$$

Так как $$abc=1$$, то

$$(1+a)(1+b)(1+c)=2+(a+b+c)+(ab+ac+bc).$$

По неравенству Коши для положительных чисел имеем:

$$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}=1 \Rightarrow a+b+c\ge 3,$$

$$\frac{ab+ac+bc}{3}\ge \sqrt[3]{(ab)(ac)(bc)}=\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1 \Rightarrow ab+ac+bc\ge 3.$$

Тогда

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 2+3+3=8.$$

Равенство достигается при $$a=b=c=1$$.

Ответ

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8.$$