Упр.763 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 763. Доказать, что для любых положительных чисел a, b, c, d справедливо неравенство v((a+c)(b+d))?v(ab)+v(cd).

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Возведём обе части в квадрат. Так как все числа положительные, это допустимо:

$$ (a+c)(b+d) \ge \left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ ab+ad+cb+cd \ge ab+2\sqrt{ab\cdot cd}+cd. $$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ ad+cb \ge 2\sqrt{abcd}. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ ad-2\sqrt{ad\cdot cb}+cb \ge 0. $$

Левая часть — полный квадрат:

$$ (\sqrt{ad}-\sqrt{cb})^2 \ge 0. $$

Это верно при любых положительных $a$, $b$, $c$, $d$.

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$