Упр.763 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

95. Докажите, что для любых положительных чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ справедливо неравенство $$\sqrt{(a+c)(b+d)}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Возведём обе части в квадрат. Так как все числа положительные, это допустимо:

$$(a+c)(b+d) \ge \left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$ab+ad+cb+cd \ge ab+2\sqrt{ab\cdot cd}+cd.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ad+cb \ge 2\sqrt{abcd}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ad-2\sqrt{ad\cdot cb}+cb \ge 0.$$

Левая часть — полный квадрат:

$$(\sqrt{ad}-\sqrt{cb})^2 \ge 0.$$

Это верно при любых положительных $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$.

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$