Упр.762 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) 1/a+1/b+1/c?1/v(bc)+1/v(ca)+1/v(ab);
2) 2/(b+c)+2/(c+a)+2/(a+b)?9/(a+b+c).

1) Докажем неравенство

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge \frac1{\sqrt{bc}}+\frac1{\sqrt{ca}}+\frac1{\sqrt{ab}}.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $$2$$:

$$2\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c-\frac1{\sqrt{bc}}-\frac1{\sqrt{ca}}-\frac1{\sqrt{ab}}\right)\ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(\frac1a-\frac1{\sqrt{ab}}\right)+\left(\frac1b-\frac1{\sqrt{bc}}\right)+\left(\frac1c-\frac1{\sqrt{ca}}\right)\ge 0.$$

После приведения к квадратам получаем:

$$\left(\frac1{\sqrt a}-\frac1{\sqrt b}\right)^2+\left(\frac1{\sqrt b}-\frac1{\sqrt c}\right)^2+\left(\frac1{\sqrt c}-\frac1{\sqrt a}\right)^2\ge 0.$$

Так как сумма квадратов неотрицательна, неравенство доказано.

2) Докажем неравенство

$$\frac2{b+c}+\frac2{c+a}+\frac2{a+b}\ge \frac9{a+b+c}.$$

Обозначим:

$$x=a+b,\quad y=b+c,\quad z=c+a.$$

Тогда

$$x+y+z=2(a+b+c).$$

Имеем:

$$\frac2y+\frac2z+\frac2x\ge \frac9{a+b+c}=\frac{18}{x+y+z}.$$

Умножим на $$xyz(x+y+z)$$:

$$2(x+ y+ z)xy z\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge 18xyz,$$

что равносильно

$$ (x+y+z)(xy+xz+yz)\ge 9xyz.$$

По неравенству Коши:

$$x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz},$$

$$\frac{xy+xz+yz}{3}\ge \sqrt[3]{x^2y^2z^2}.$$

Перемножая, получаем:

$$ (x+y+z)(xy+xz+yz)\ge 9xyz.$$

Следовательно,

$$\frac2{b+c}+\frac2{c+a}+\frac2{a+b}\ge \frac9{a+b+c}.$$

Ответ

Оба неравенства доказаны.