Упр.761 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) a^3+b^3+c^3?3abc;
2) (a+b+c)(ab+bc+ca)?9abc;
3) (a+b)(b+c)(c+a)?8abc;
4) (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)?abc.

1. По неравенству Коши для трёх неотрицательных чисел имеем:

   $$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge \sqrt[3]{a^3b^3c^3}=abc.$$

   Следовательно,

   $$a^3+b^3+c^3\ge 3abc.$$

2. Применим неравенство Коши к числам $$a+b+c$$ и $$ab+bc+ca$$:

   $$\frac{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{2}\ge \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}.$$

   Удобнее воспользоваться оценками:

   $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}, \qquad \frac{ab+bc+ca}{3}\ge \sqrt[3]{a^2b^2c^2}.$$

   Перемножая, получаем:

   $$\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}\ge abc,$$

   то есть

   $$ (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 9abc.$$

3. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \qquad \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}, \qquad \frac{c+a}{2}\ge \sqrt{ca}.$$

   Перемножим эти неравенства:

   $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\ge \sqrt{ab}\cdot \sqrt{bc}\cdot \sqrt{ca}=abc.$$

   Значит,

   $$ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc.$$

4. Введём новые переменные:

   $$x=a+b-c,\qquad y=b+c-a,\qquad z=c+a-b.$$

   Тогда

   $$a=\frac{x+z}{2},\qquad b=\frac{x+y}{2},\qquad c=\frac{y+z}{2}.$$

   Так как $$a,b,c\ge 0,$$ то по неравенству AM-GM:

   $$a\ge \sqrt{xz},\qquad b\ge \sqrt{xy},\qquad c\ge \sqrt{yz}.$$

   Перемножая, получаем:

   $$abc\ge \sqrt{xz}\cdot \sqrt{xy}\cdot \sqrt{yz}=xyz.$$

   Следовательно,

   $$abc\ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).$$

Ответ

$$a^3+b^3+c^3\ge 3abc,$$

$$ (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 9abc,$$

$$ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc,$$

$$ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc.$$