Упр.760 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n) > 1/2;
2) (1+1/n)^n < (1+1/2n)^2n.

1) Рассмотрим сумму

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}.$$

Так как при любом натуральном $$n>2$$ и любом $$k=1,2,\dots,n$$ выполняется

$$n+k\le 2n,$$

то

$$\frac{1}{n+k}\ge \frac{1}{2n}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\ge \underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}}_{n\text{ слагаемых}}=\frac{n}{2n}=\frac12.$$

Причём хотя бы одно из слагаемых строго больше $$\frac{1}{2n}$$, значит,

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac12.$$

2) Докажем неравенство

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}.$$

Рассмотрим отношение правой и левой частей:

$$\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\left(\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^2}{1+\frac{1}{n}}\right)^n.$$

Вычислим дробь в скобках:

$$\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^2}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}}{1+\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{4n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}>1.$$

Значит,

$$\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1,$$

откуда

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac12.$$

2) $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}.$$