Упр.759 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14?0;
2) (a+b+c)^2?3(ab+bc+ca);
3) (a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2?ab+bc+ca.

1. Преобразуем левую часть:
   $$a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14=(a-1)^2+(b+2)^2+(c-3)^2.$$

   Так как квадрат любого числа неотрицателен, то
   $$ (a-1)^2+(b+2)^2+(c-3)^2 \ge 0. $$
   Следовательно,
   $$a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14 \ge 0.$$

2. Раскроем скобки:
   $$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc. $$
   Тогда неравенство
   $$ (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca) $$
   равносильно
   $$ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0. $$

   Умножим на $$2$$:
   $$ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \ge 0. $$
   Это можно записать так:
   $$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0. $$

   Значит,
   $$ (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca). $$

3. Раскроем скобки:
   $$ (a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2 $$
   $$= (a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc) $$
   $$\quad +(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc) $$
   $$\quad +(a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc). $$

   Получаем:
   $$ (a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2=3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca). $$

   Тогда
   $$ (a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2-(ab+bc+ca) $$
   $$=3(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca) $$
   $$=3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). $$

   А выражение
   $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$
   неотрицательно, так как
   $$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0.$$
   Значит,
   $$ (a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2 \ge ab+bc+ca. $$

Ответ

Все три неравенства верны:
$$a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14 \ge 0,$$
$$(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca),$$
$$(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2 \ge ab+bc+ca.$$