Упр.758 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что для любых чисел $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство:
   1) $$x^2+4y^2-2x-16y+17\geq 0$$;
   2) $$5x^2-4xy+y^2-16x+6y+13\geq 0$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$x^2+4y^2-2x-16y+17=(x^2-2x+1)+(4y^2-16y+16)$$

$$=(x-1)^2+(2y-4)^2$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$(x-1)^2+(2y-4)^2 \ge 0.$$

Следовательно,

$$x^2+4y^2-2x-16y+17 \ge 0.$$

2) Аналогично:

$$5x^2-4xy+y^2-16x+6y+13$$

$$=(x^2-4x+4)+(y^2-4xy+4x^2)+(6y-12x)+9$$

$$=(x-2)^2+(y-2x)^2+6(y-2x)+9$$

$$=(x-2)^2+\bigl((y-2x)+3\bigr)^2 \ge 0.$$

Значит,

$$5x^2-4xy+y^2-16x+6y+13 \ge 0.$$

Ответ

1) $$x^2+4y^2-2x-16y+17 \ge 0$$

2) $$5x^2-4xy+y^2-16x+6y+13 \ge 0$$