Упр.757 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, для которых при всех действительных значениях $$x$$ выполняется неравенство $$ax^2+2(a+2)x+2a+4<0$$.

Рассмотрим квадратный трехчлен

$$ax^2+2(a+2)x+2a+4.$$

Чтобы неравенство

$$ax^2+2(a+2)x+2a+4<0$$

выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, парабола должна быть направлена вниз, то есть

$$a<0.$$

Кроме того, квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней, значит, его дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=[2(a+2)]^2-4a(2a+4).$$

Упростим:

$$D=4(a+2)^2-4a(2a+4) \\ =4(a^2+4a+4)-8a^2-16a \\ =16-4a^2 \\ =4(4-a^2).$$

Требуем

$$4(4-a^2)<0,$$

откуда

$$4-a^2<0,$$

$$a^2>4,$$

$$a<-2 \quad \text{или} \quad a>2.$$

С учетом условия $$a<0$$ получаем

$$a<-2.$$

Ответ

$$a\in(-\infty;\,-2).$$