Упр.756 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти все значения $$r$$, при которых неравенство $$-3<\frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}<2$$ выполняется при всех значениях $$x$$.

Так как неравенство должно выполняться при всех значениях $$x$$, достаточно одновременно потребовать выполнения двух неравенств:

$$\frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}>-3$$
и
$$\frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}<2.$$

Заметим, что

$$x^2-x+1>0$$
при всех $$x$$, так как
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0.$$

Тогда можно умножать неравенства на знаменатель, не меняя знак.

1) Первое неравенство:

$$\frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}>-3$$
$$x^2+rx-2>-3(x^2-x+1)$$
$$x^2+rx-2>-3x^2+3x-3$$
$$4x^2+(r-3)x+1>0.$$

Чтобы квадратный трёхчлен был положительным при всех $$x$$, нужно, чтобы его дискриминант был отрицательным:

$$D_1=(r-3)^2-4\cdot 4\cdot 1<0$$ $$r^2-6r+9-16<0$$ $$r^2-6r-7<0.$$

Найдём корни:

$$r_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36+28}}{2}=\frac{6\pm 8}{2},$$
откуда
$$r_1=-1,\quad r_2=7.$$
Значит,
$$-1

2) Второе неравенство:

$$\frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}<2$$ $$x^2+rx-2<2(x^2-x+1)$$ $$x^2+rx-2<2x^2-2x+2$$ $$x^2-(r+2)x+4>0.$$

Снова требуем положительность при всех $$x$$, значит дискриминант должен быть отрицательным:

$$D_2=(r+2)^2-4\cdot 1\cdot 4<0$$ $$r^2+4r+4-16<0$$ $$r^2+4r-12<0.$$

Найдём корни:

$$r_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{2}=\frac{-4\pm 8}{2},$$
откуда
$$r_1=-6,\quad r_2=2.$$
Следовательно,
$$-6

Пересекаем полученные промежутки:

$$(-1,7)\cap(-6,2)=(-1,2).$$

Ответ

$$r\in(-1,2)$$