Упр.756 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

-3 < (x^2+rx-2)/(x^2-x+1) < 2 выполняется при всех значениях х.

Так как неравенство должно выполняться при всех значениях $$x$$, достаточно одновременно потребовать выполнения двух неравенств:

$$ \frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}>-3 $$
и
$$ \frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}<2. $$

Заметим, что

$$ x^2-x+1>0 $$
при всех $$x$$, так как
$$ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0. $$

Тогда можно умножать неравенства на знаменатель, не меняя знак.

1) Первое неравенство:

$$ \frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}>-3 $$
$$ x^2+rx-2>-3(x^2-x+1) $$
$$ x^2+rx-2>-3x^2+3x-3 $$
$$ 4x^2+(r-3)x+1>0. $$

Чтобы квадратный трёхчлен был положительным при всех $$x$$, нужно, чтобы его дискриминант был отрицательным:

$$ D_1=(r-3)^2-4\cdot 4\cdot 1<0 $$ $$ r^2-6r+9-16<0 $$ $$ r^2-6r-7<0. $$

Найдём корни:

$$ r_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36+28}}{2}=\frac{6\pm 8}{2}, $$
откуда
$$ r_1=-1,\quad r_2=7. $$
Значит,
$$ -1

2) Второе неравенство:

$$ \frac{x^2+rx-2}{x^2-x+1}<2 $$ $$ x^2+rx-2<2(x^2-x+1) $$ $$ x^2+rx-2<2x^2-2x+2 $$ $$ x^2-(r+2)x+4>0. $$

Снова требуем положительность при всех $$x$$, значит дискриминант должен быть отрицательным:

$$ D_2=(r+2)^2-4\cdot 1\cdot 4<0 $$ $$ r^2+4r+4-16<0 $$ $$ r^2+4r-12<0. $$

Найдём корни:

$$ r_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{2}=\frac{-4\pm 8}{2}, $$
откуда
$$ r_1=-6,\quad r_2=2. $$
Следовательно,
$$ -6

Пересекаем полученные промежутки:

$$ (-1,7)\cap(-6,2)=(-1,2). $$

Ответ

$$ r\in(-1,2) $$