Упр.755 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 755. Пусть x_1 и x_2 — корни уравнения x^2+px+q=0. Найти p и q, если известно, что числа x_1+1 и x_2+1 являются корнями уравнения x^2-(p^2)x+pq=0.

По теореме Виета для уравнения $$x^2+px+q=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Числа $$x_1+1$$ и $$x_2+1$$ являются корнями уравнения $$x^2-p^2x+pq=0$$, значит, по Виету:

$$ (x_1+1)+(x_2+1)=p^2, $$

$$ (x_1+1)(x_2+1)=pq. $$

Из первого равенства получаем:

$$x_1+x_2+2=p^2.$$

Так как $$x_1+x_2=-p$$, то

$$-p+2=p^2,$$

$$p^2+p-2=0,$$

$$ (p+2)(p-1)=0.$$

Следовательно,

$$p=-2 \quad \text{или} \quad p=1.$$

Теперь найдём $$q$$.

1) Если $$p=-2$$, то из равенства $$x_1+x_2+2=p^2$$ имеем:

$$x_1+x_2+2=4,$$

$$x_1+x_2=2.$$

Но $$x_1+x_2=-p=2$$, что верно. Используем второе условие:

$$ (x_1+1)(x_2+1)=pq.$$

Раскроем скобки:

$$x_1x_2+x_1+x_2+1=pq.$$

Подставим $$x_1x_2=q$$ и $$x_1+x_2=2$$:

$$q+2+1=-2q,$$

$$3q=-3,$$

$$q=-1.$$

2) Если $$p=1$$, то

$$x_1+x_2=-1.$$

Тогда из первого условия:

$$-1+2=1=p^2,$$

что верно. Из второго условия:

$$q+(-1)+1=q=pq=q,$$

то есть это равенство выполняется при любом $$q$$.

Ответ

$$p=-2,\ q=-1$$ или $$p=1,\ q \in \mathbb{R}.$$