Упр.754 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 754. Доказать, что если действительные числа a, b, c удовлетворяют условию c(a+b+c)?0, то уравнение ax^2+bx+c=0 имеет действительные корни.

Рассмотрим уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ и условие $$c(a+b+c)\le 0.$$

Докажем, что уравнение имеет действительные корни, рассмотрев возможные случаи.

1. Если $$c=0,$$ то

   $$ax^2+bx=0,$$

   $$x(ax+b)=0.$$

   Отсюда

   $$x_1=0,\qquad x_2=-\frac{b}{a}.$$

   Значит, действительные корни есть.

2. Если $$a+b+c=0,$$ то $$c=-a-b,$$ и уравнение принимает вид

   $$ax^2+bx-a-b=0.$$

   Его дискриминант равен

   $$D=b^2-4a(-a-b)=b^2+4a^2+4ab=(b+2a)^2\ge 0.$$

   Следовательно, уравнение имеет действительные корни.

3. Если $$c>0$$ и $$a+b+c<0,$$ то рассмотрим функцию

   $$y=ax^2+bx+c.$$

   Тогда

   $$y(0)=c>0,\qquad y(1)=a+b+c<0.$$

   Так как функция непрерывна, то на отрезке $$[0;1]$$ существует число $$x\in(0;1),$$ для которого $$y(x)=0.$$ Значит, уравнение имеет действительный корень.

4. Если $$c<0$$ и $$a+b+c>0,$$ то

   $$y(0)=c<0,\qquad y(1)=a+b+c>0.$$

   По той же причине существует $$x\in(0;1),$$ для которого $$y(x)=0.$$ Следовательно, уравнение имеет действительный корень.

Во всех возможных случаях уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет действительные корни.

Ответ

Уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет действительные корни.