Упр.753 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 753. Найти все значения a, при которых квадратичная функция y=x^2+ax+a^2+6a принимает отрицательные значения при всех x, таких, что 1 < x < 2.

Рассмотрим функцию $$y=x^2+ax+a^2+6a.$$

Так как требуется, чтобы она принимала отрицательные значения при всех $$x$$, таких что $$1<x<2$$, достаточно, чтобы на концах этого промежутка значения были не положительными:

$$ \begin{cases} 1^2+a\cdot 1+a^2+6a\le 0,\\ 2^2+2a+a^2+6a\le 0. \end{cases} $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a^2+7a+1\le 0,\\ a^2+8a+4\le 0. \end{cases} $$

Решим каждое неравенство.

$$ a^2+7a+1\le 0 $$

$$ D=7^2-4\cdot 1\cdot 1=49-4=45, $$

$$ a_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{45}}{2}=\frac{-7\pm 3\sqrt5}{2}. $$

Тогда

$$ \frac{-7-3\sqrt5}{2}\le a\le \frac{-7+3\sqrt5}{2}. $$

Теперь решим второе неравенство:

$$ a^2+8a+4\le 0 $$

$$ D=8^2-4\cdot 1\cdot 4=64-16=48, $$

$$ a_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{-8\pm 4\sqrt3}{2}=-4\pm 2\sqrt3. $$

Следовательно,

$$ -4-2\sqrt3\le a\le -4+2\sqrt3. $$

Ищем пересечение полученных промежутков:

$$ a\in \left[\frac{-7-3\sqrt5}{2};\,-4+2\sqrt3\right]. $$

Ответ

$$ a\in \left[\frac{-7-3\sqrt5}{2};\,-4+2\sqrt3\right]. $$