Упр.752 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$x^2+ax+a=0$$ имеет действительные корни $$x_1$$ и $$x_2$$, удовлетворяющие условиям $$x_1

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+ax+a=0$$, причём $$x_1<x_2$$ и $$x_1^2x_2=a^2$$.

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=a.$$

Из условия $$x_1^2x_2=a^2$$ и равенства $$x_1x_2=a$$ получаем:

$$x_1(x_1x_2)=a^2 \Rightarrow x_1a=a^2.$$

Если $$a\neq 0$$, то

$$x_1=a.$$

Тогда из $$x_1+x_2=-a$$ имеем

$$a+x_2=-a \Rightarrow x_2=-2a.$$

Используем произведение корней:

$$x_1x_2=a \Rightarrow a\cdot(-2a)=a.$$

$$-2a^2=a$$

$$a(2a+1)=0.$$

Отсюда $$a=0$$ или $$a=-\frac12$$. Значение $$a=0$$ не подходит, так как тогда корни уравнения совпадают: $$x^2=0$$.

Проверим $$a=-\frac12$$:

$$x^2-\frac12x-\frac12=0$$

$$D=\left(-\frac12\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right)=\frac94>0,$$

значит, корни действительные и различные. Найдём их:

$$x_{1,2}=\frac{\frac12\pm\frac32}{2}$$

$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=1.$$

Проверка условия:

$$x_1^2x_2=\left(-\frac12\right)^2\cdot 1=\frac14=a^2.$$

Условие выполняется.

Ответ

$$a=-\frac12$$.