Упр.752 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 752. Найти все значения a, при которых уравнение x^2+ax+a=0 имеет действительные корни x_1 и x_2, удовлетворяющие условиям x_1 < x_2, (x_1)^2(x_2)=a^2.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+ax+a=0$$, причём $$x_1<x_2$$ и $$x_1^2x_2=a^2$$.

По теореме Виета:

$$ x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=a. $$

Из условия $$x_1^2x_2=a^2$$ и равенства $$x_1x_2=a$$ получаем:

$$ x_1(x_1x_2)=a^2 \Rightarrow x_1a=a^2. $$

Если $$a\neq 0$$, то

$$ x_1=a. $$

Тогда из $$x_1+x_2=-a$$ имеем

$$ a+x_2=-a \Rightarrow x_2=-2a. $$

Используем произведение корней:

$$ x_1x_2=a \Rightarrow a\cdot(-2a)=a. $$

$$ -2a^2=a $$

$$ a(2a+1)=0. $$

Отсюда $$a=0$$ или $$a=-\frac12$$. Значение $$a=0$$ не подходит, так как тогда корни уравнения совпадают: $$x^2=0$$.

Проверим $$a=-\frac12$$:

$$ x^2-\frac12x-\frac12=0 $$

$$ D=\left(-\frac12\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right)=\frac94>0, $$

значит, корни действительные и различные. Найдём их:

$$ x_{1,2}=\frac{\frac12\pm\frac32}{2} $$

$$ x_1=-\frac12,\qquad x_2=1. $$

Проверка условия:

$$ x_1^2x_2=\left(-\frac12\right)^2\cdot 1=\frac14=a^2. $$

Условие выполняется.

Ответ

$$a=-\frac12$$.