Упр.751 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 751. Найти все действительные значения a, при которых корни уравнения ax^2+2(a+3)x+a+2=0 неотрицательны.

Рассмотрим уравнение $$ax^2+2(a+3)x+a+2=0.$$

Чтобы оба корня были неотрицательными, нужно, чтобы существовали действительные корни и меньший корень был неотрицателен.

Найдём дискриминант:

$$D=2^2(a+3)^2-4a(a+2)=4(a+3)^2-4a(a+2)=16a+36=4(4a+9).$$

Для существования действительных корней необходимо:

$$D\ge 0 \;\Rightarrow\; 4a+9\ge 0 \;\Rightarrow\; a\ge -\frac94.$$

Меньший корень равен

$$x_1=\frac{-2(a+3)-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(a+3)-\sqrt{4a+9}}{a}.$$

Требуем, чтобы $$x_1\ge 0.$$ Рассмотрим случаи.

1) Если $$a>0$$, то

$$-(a+3)-\sqrt{4a+9}\ge 0.$$

Левая часть не может быть неотрицательной, так как $$a+3>0$$ и $$\sqrt{4a+9}\ge 0.$$ Значит, при $$a>0$$ решений нет.

2) Если $$a<0$$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$-(a+3)-\sqrt{4a+9}\le 0,$$

то есть

$$\sqrt{4a+9}\le -(a+3).$$

Правая часть должна быть неотрицательной, значит

$$-(a+3)\ge 0 \;\Rightarrow\; a\le -3.$$

Возводим в квадрат:

$$4a+9\le (a+3)^2,$$

$$4a+9\le a^2+6a+9,$$

$$a^2+2a\ge 0,$$

$$a(a+2)\ge 0.$$

С учётом $$a<0$$ получаем

$$a\le -2.$$

Совмещая с $$a\le -3$$, имеем $$a\le -3.$$

Теперь учтём условие существования корней:

$$a\ge -\frac94.$$

Пересечение условий даёт

$$-\frac94\le a\le -3,$$

что невозможно, поэтому нужно проверить границу при равенстве для меньшего корня. При $$a=-2$$ получаем

$$-2x^2+2x=0,$$

$$2x(x-1)=0,$$

откуда $$x=0$$ и $$x=1,$$ оба корня неотрицательны.

При $$a=-\frac94$$ дискриминант равен нулю, и корень отрицателен, поэтому это значение не подходит.

Следовательно, подходящие значения параметра:

$$a\in\left[-\frac94,-2\right].$$

Ответ

$$a\in\left[-\frac94,-2\right].$$