Упр.749 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) {(|x-1|+|y-5|=1, y=5+|x-1|);
2) {(v(5y-x)+x=3, v(2y-x)+x+y=3);
3) {(v(y+7x)+v(y+2x)=5, v(y+2x)-y+x=1);
4) {(v(25-x^2)-v(25-y^2)=v8, v(25-x^2)+v(25-y^2)=v(16+(x+y)^2)).

1. $$\begin{cases} |x-1|+|y-5|=1,\\ y=5+|x-1| \end{cases}$$
   Подставим второе уравнение в первое:
   $$|x-1|+|5+|x-1|-5|=1,$$
   $$|x-1|+|x-1|=1,$$
   $$2|x-1|=1,$$
   $$|x-1|=\frac12.$$
   Тогда
   $$x-1=\pm \frac12,$$
   $$x=\frac12 \text{ или } x=\frac32.$$
   Из уравнения $$y=5+|x-1|$$ получаем
   $$y=5+\frac12=\frac{11}{2}.$$
   Значит,
   $$\left(\frac12;\frac{11}{2}\right),\ \left(\frac32;\frac{11}{2}\right).$$

2. $$\begin{cases} \sqrt{5y-x}+x=3,\\ \sqrt{2y-x}+x+y=3 \end{cases}$$
   Обозначим
   $$u=\sqrt{5y-x},\quad t=\sqrt{2y-x}.$$
   Тогда
   $$u=3-x,\quad t=3-x-y.$$
   Кроме того,
   $$u^2=5y-x,\quad t^2=2y-x.$$
   Из первого уравнения:
   $$5y-x=(3-x)^2,$$
   $$5y=x^2-5x+9,$$
   $$y=\frac{x^2-5x+9}{5}.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$\sqrt{2\cdot \frac{x^2-5x+9}{5}-x}+x+\frac{x^2-5x+9}{5}=3.$$
   После преобразований получаем:
   $$x^4-22x^2+75x-54=0,$$
   $$ (x+6)(x-1)(x^2-5x+9)=0.$$
   Так как $$x^2-5x+9$$ не имеет действительных корней, остаются
   $$x=-6 \text{ или } x=1.$$
   При $$x=-6$$:
   $$y=\frac{36+30+9}{5}=15.$$
   При $$x=1$$:
   $$y=\frac{1-5+9}{5}=1.$$
   Проверка области определения даёт только
   $$ (1;1).$$

3. $$\begin{cases} \sqrt{y+7x}+\sqrt{y+2x}=5,\\ \sqrt{y+2x}-y+x=1 \end{cases}$$
   Обозначим
   $$u=\sqrt{y+7x},\quad t=\sqrt{y+2x}.$$
   Тогда
   $$u+t=5,$$
   $$t-y+x=1.$$
   Из равенств
   $$u^2=y+7x,\quad t^2=y+2x$$
   получаем
   $$5x=u^2-t^2=(u-t)(u+t).$$
   Так как $$u+t=5,$$ то
   $$x=\frac{u^2-t^2}{5}.$$
   Аналогично
   $$y=t^2-2x.$$
   Решая систему, получаем
   $$u=3,\ t=2.$$
   Тогда
   $$x=\frac{3^2-2^2}{5}=1,\qquad y=2^2-2\cdot 1=2.$$
   Следовательно,
   $$ (1;2).$$

4. $$\begin{cases} \sqrt{25-x^2}-\sqrt{25-y^2}=\sqrt8,\\ \sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-y^2}=\sqrt{16+(x+y)^2} \end{cases}$$
   Обозначим
   $$a=\sqrt{25-x^2},\quad b=\sqrt{25-y^2}.$$
   Тогда
   $$a-b=\sqrt8,\quad a+b=\sqrt{16+(x+y)^2}.$$
   Возведём в квадрат и сложим:
   $$ (a-b)^2+(a+b)^2=8+16+(x+y)^2,$$
   $$2a^2+2b^2=24+(x+y)^2.$$
   Подставим $$a^2=25-x^2,\ b^2=25-y^2$$:
   $$50-2x^2-2y^2=24+x^2+2xy+y^2,$$
   $$3x^2+2xy+3y^2=76.$$
   Теперь перемножим уравнения:
   $$a^2-b^2=\sqrt8\cdot \sqrt{16+(x+y)^2},$$
   $$y^2-x^2=\sqrt{8\bigl(16+(x+y)^2\bigr)}.$$
   Обозначим
   $$u=(x+y)^2,\quad t=(x-y)^2.$$
   Тогда
   $$2u+t=76,$$
   $$tu=8(16+u).$$
   Из первого:
   $$t=76-2u.$$
   Подставим во второе:
   $$u(76-2u)=8(16+u),$$
   $$2u^2-68u+128=0,$$
   $$u^2-34u+64=0.$$
   Отсюда
   $$u=2 \text{ или } u=32.$$
   
   1) Если $$u=2,$$ то
   $$ (x+y)^2=2,\quad (x-y)^2=72,$$
   откуда
   $$xy=-\frac{35}{2}.$$
   Тогда
   $$x^2-35+\frac{1225}{4x^2}=2,$$
   $$4x^4-148x^2+1225=0,$$
   $$x^2=\frac{25}{2}\ \text{или}\ x^2=\frac{49}{2}.$$
   Получаем пары
   $$\left(\frac{5}{\sqrt2};\frac{7}{\sqrt2}\right),\ \left(-\frac{5}{\sqrt2};-\frac{7}{\sqrt2}\right),\ \left(\frac{7}{\sqrt2};\frac{5}{\sqrt2}\right),\ \left(-\frac{7}{\sqrt2};-\frac{5}{\sqrt2}\right).$$
   
   2) Если $$u=32,$$ то
   $$ (x+y)^2=32,\quad (x-y)^2=12,$$
   откуда
   $$xy=5.$$
   Тогда
   $$x^2+10+\frac{25}{x^2}=32,$$
   $$x^4-22x^2+25=0,$$
   $$x^2=11\pm 4\sqrt6.$$
   Следовательно,
   $$x=\pm(2\sqrt2\pm \sqrt3),\qquad y=\pm(2\sqrt2\mp \sqrt3).$$
   С учётом области определения получаем ещё две пары:
   $$(-2\sqrt2+\sqrt3;\,-2\sqrt2-\sqrt3),\quad (2\sqrt2-\sqrt3;\,2\sqrt2+\sqrt3).$$

Ответ

1) $$\left(\frac12;\frac{11}{2}\right),\ \left(\frac32;\frac{11}{2}\right);$$
2) $$ (1;1);$$
3) $$ (1;2);$$
4) $$\left(\frac{5}{\sqrt2};\frac{7}{\sqrt2}\right),\ \left(-\frac{5}{\sqrt2};-\frac{7}{\sqrt2}\right),\ \left(\frac{7}{\sqrt2};\frac{5}{\sqrt2}\right),\ \left(-\frac{7}{\sqrt2};-\frac{5}{\sqrt2}\right),\ (-2\sqrt2+\sqrt3;\,-2\sqrt2-\sqrt3),\ (2\sqrt2-\sqrt3;\,2\sqrt2+\sqrt3).$$