Упр.748 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что система уравнений $$\begin{cases} x+y+z=0,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \end{cases}$$ не имеет действительных решений.

Из второго уравнения получаем:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0.$$

Умножим на $$xyz$$:

$$yz+xz+xy=0.$$

Тогда

$$x(y+z)+yz=0,$$

откуда

$$x=-\frac{yz}{y+z}.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$-\frac{yz}{y+z}+y+z=0.$$

Умножим на $$y+z$$:

$$-yz+(y+z)^2=0.$$

Раскроем скобки:

$$-yz+y^2+2yz+z^2=0,$$

$$y^2+yz+z^2=0.$$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$y$$:

$$y^2+zy+z^2=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=z^2-4z^2=-3z^2.$$

Для существования действительных решений должно быть $$D\ge 0$$, значит

$$-3z^2\ge 0,$$

откуда

$$z^2\le 0.$$

Следовательно, $$z=0$$. Но тогда исходная система не имеет смысла, так как в ней есть дробь $$\frac{1}{z}$$.

Значит, действительных решений у системы нет.

Ответ

Система не имеет действительных решений.