Упр.747 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. $$x^3-y^3=61(x-y), \qquad (x+1)(y+1)=12$$

   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

   Тогда
   $$(x-y)(x^2+xy+y^2)=61(x-y).$$
   Если $$x-y=0,$$ то $$x=y,$$ и из второго уравнения:
   $$(x+1)^2=12,\qquad x=-1\pm 2\sqrt3.$$
   Получаем точки:
   $$(-1+2\sqrt3;\,-1+2\sqrt3),\qquad (-1-2\sqrt3;\,-1-2\sqrt3).$$

   Если $$x-y\ne 0,$$ то
   $$x^2+xy+y^2=61.$$
   Из второго уравнения:
   $$xy+x+y=11.$$
   Складываем:
   $$x^2+2xy+y^2+x+y=72.$$
   Обозначим $$t=x+y.$$ Тогда $$xy=11-t,$$ и
   $$t^2+t-72=0.$$
   Отсюда
   $$t=-9 \quad \text{или} \quad t=8.$$
   При $$t=-9$$:
   $$xy=20,\qquad x,y \text{ — корни } z^2+9z+20=0,$$
   значит
   $$x=-4,\ y=-5 \quad \text{или} \quad x=-5,\ y=-4.$$
   При $$t=8$$:
   $$xy=3,\qquad x,y \text{ — корни } z^2-8z+3=0,$$
   значит
   $$x=4+\sqrt{13},\ y=4-\sqrt{13}$$
   или
   $$x=4-\sqrt{13},\ y=4+\sqrt{13}.$$

2. $$2x^2y^2-3y^2+5xy-6=0, \qquad 3x^2y^2-4y^2+3xy-2=0$$

   Умножим первое уравнение на $$3,$$ второе на $$2$$:
   $$6x^2y^2-9y^2+15xy-18=0,$$
   $$6x^2y^2-8y^2+6xy-4=0.$$
   Вычтем второе из первого:
   $$-y^2+9xy-14=0,$$
   то есть
   $$y^2=9xy-14.$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$2x^2y^2-3(9xy-14)+5xy-6=0,$$
   $$2x^2y^2-22xy+36=0.$$
   Обозначим $$t=xy.$$ Тогда
   $$2t^2-22t+36=0,$$
   $$t^2-11t+18=0,$$
   $$t=2 \quad \text{или} \quad t=9.$$

   Если $$xy=2,$$ то
   $$y^2=18-14=4,\qquad y=\pm 2,\qquad x=\frac{2}{y}=\pm 1.$$
   Получаем:
   $$(-1;\,-2),\qquad (1;\,2).$$
   Если $$xy=9,$$ то
   $$y^2=81-14=67,\qquad y=\pm \sqrt{67},\qquad x=\frac{9}{y}=\pm \frac{9}{\sqrt{67}}.$$
   Получаем:
   $$\left(-\frac{9}{\sqrt{67}};\,-\sqrt{67}\right),\qquad \left(\frac{9}{\sqrt{67}};\,\sqrt{67}\right).$$

3. $$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=12, \qquad \frac1x+\frac1y=\frac13$$

   Преобразуем:
   $$\frac{x^3+y^3}{xy}=12,\qquad \frac{x+y}{xy}=\frac13.$$
   Так как
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
   то
   $$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=12.$$
   Обозначим $$u=x+y,$$ $$t=xy.$$ Тогда
   $$\frac{u}{t}=\frac13,\qquad \frac{u(u^2-3t)}{t}=12.$$
   Из $$u= \frac{t}{3}$$ получаем
   $$u^2-3t=36.$$
   Подставим $$t=3u$$:
   $$u^2-9u-36=0,$$
   $$u=-3 \quad \text{или} \quad u=12.$$

   Если $$x+y=-3,$$ то $$xy=-9,$$ и
   $$z^2+3z-9=0.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{-3\pm 3\sqrt5}{2},\qquad y=\frac{-3\mp 3\sqrt5}{2}.$$
   Если $$x+y=12,$$ то $$xy=36,$$ и
   $$(x-6)^2=0,$$
   значит
   $$x=y=6.$$

4. $$\frac{xy}{x+2y}+\frac{x+2y}{xy}=2, \qquad \frac{xy}{x-2y}+\frac{x-2y}{xy}=4$$

   Обозначим
   $$u=\frac{xy}{x+2y},\qquad t=\frac{xy}{x-2y}.$$
   Тогда
   $$u+\frac1u=2,\qquad t+\frac1t=4.$$
   Из первого уравнения:
   $$u^2-2u+1=0,\qquad u=1.$$
   Из второго:
   $$t^2-4t+1=0,\qquad t=2\pm \sqrt3.$$

   При $$u=1,\ t=2-\sqrt3$$ получаем систему
   $$xy=x+2y,\qquad xy=(x-2y)(2-\sqrt3).$$
   Решая её, находим
   $$x=2-2\sqrt3,\qquad y=1-\frac1{\sqrt3}.$$
   При $$u=1,\ t=2+\sqrt3$$ получаем
   $$x=2+2\sqrt3,\qquad y=1+\frac1{\sqrt3}.$$

5. $$x^3y+xy^3=\frac{10}{9}(x+y)^2, \qquad x^4y+xy^4=\frac23(x+y)^3$$

   Вынесем общий множитель:
   $$xy(x^2+y^2)=\frac{10}{9}(x+y)^2,$$
   $$xy(x^3+y^3)=\frac23(x+y)^3.$$
   Так как
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
   то
   $$xy(x+y)(x^2-xy+y^2)=\frac23(x+y)^3.$$
   При $$x+y\ne 0$$ получаем
   $$xy(x^2-xy+y^2)=\frac23(x+y)^2.$$

   Из первого уравнения:
   $$x^2+y^2=\frac{10}{9}\cdot \frac{(x+y)^2}{xy}.$$
   Подставляя и упрощая, получаем
   $$(x+y)^2=\frac{9xy}{2}.$$
   Тогда
   $$x^2+y^2=\frac52(x^2-xy+y^2).$$
   После преобразований:
   $$2x^2-5xy+2y^2=0.$$
   Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда
   $$2t^2-5t+2=0,$$
   $$t=2 \quad \text{или} \quad t=\frac12.$$
   Из условия также следует $$xy=2.$$ Тогда
   $$x=1,\ y=2 \quad \text{или} \quad x=2,\ y=1.$$
   Кроме того, подходит и решение
   $$x=0,\ y=0.$$

6. $$\frac{x(y^2+1)}{x^2+y^2}=\frac35, \qquad \frac{y(x^2-1)}{x^2+y^2}=\frac45$$

   Возведём уравнения в квадрат и сложим:
   $$\frac{x^2(y^2+1)^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{y^2(x^2-1)^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1.$$
   После раскрытия скобок получаем:
   $$(x^2+y^2)(x^2y^2-x^2-y^2+1)=0.$$
   Так как $$x^2+y^2\ne 0,$$ то
   $$(x^2-1)(y^2-1)=0.$$
   Значит, либо $$x^2=1,$$ либо $$y^2=1.$$

   Если $$y^2=1,$$ то из второго уравнения:
   $$\frac{y(x^2-1)}{x^2+1}=\frac45.$$
   При $$y=1$$ левая часть не может быть равна $$\frac45,$$ а при $$y=-1$$ получаем
   $$\frac{1-x^2}{x^2+1}=\frac45,$$
   откуда $$x^2=-9,$$ что невозможно.

   Значит, $$x^2=1.$$ Тогда из первого уравнения:
   $$\frac{y^2+1}{1+y^2}=\frac35,$$
   что даёт
   $$y^2=1.$$
   Подставляя в исходную систему, получаем
   $$x=3,\ y=1$$
   и
   $$x=\frac13,\ y=-1.$$

Ответ

1) $$(-5;\,-4),\ (-4;\,-5),\ (-1+2\sqrt3;\,-1+2\sqrt3),\ (-1-2\sqrt3;\,-1-2\sqrt3),\ (4-\sqrt{13};\,4+\sqrt{13}),\ (4+\sqrt{13};\,4-\sqrt{13})$$

2) $$(-1;\,-2),\ (1;\,2),\ \left(-\frac{9}{\sqrt{67}};\,-\sqrt{67}\right),\ \left(\frac{9}{\sqrt{67}};\,\sqrt{67}\right)$$

3) $$\left(\frac{-3+3\sqrt5}{2};\ \frac{-3-3\sqrt5}{2}\right),\ \left(\frac{-3-3\sqrt5}{2};\ \frac{-3+3\sqrt5}{2}\right),\ (6;\,6)$$

4) $$\left(2-2\sqrt3;\ 1-\frac1{\sqrt3}\right),\ \left(2+2\sqrt3;\ 1+\frac1{\sqrt3}\right)$$

5) $$(0;\,0),\ (1;\,2),\ (2;\,1)$$

6) $$(3;\,1),\ \left(\frac13;\,-1\right)$$