Упр.747 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^3-y^3=61(x-y), (x+1)(y+1)=12);
2) {(2x^2y^2-3y^2+5xy-6=0, 3x^2y^2-4y^2+3xy-2=0);
3) {(x^2/y+y^2/x=12, 1/x+1/y=1/3);
4) {(xy/(x+2y)+(x+2y)/xy=2, xy/(x-2y)+(x-2y)/xy=4);
5) {(x^3y+xy^3=(10/9)(x+y)^2, x^4y+xy^4=(2/3)(x+y)^3);
6) {(x(y^2+1)/(x^2+y^2)=3/5, y(x^2-1)/(x^2+y^2)=4/5).

Подробный ответ

$$x^3-y^3=61(x-y), \qquad (x+1)(y+1)=12$$
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$
Тогда
$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)=61(x-y). $$
Если $$x-y=0,$$ то $$x=y,$$ и из второго уравнения:
$$ (x+1)^2=12,\qquad x=-1\pm 2\sqrt3. $$
Получаем точки:
$$ (-1+2\sqrt3;\,-1+2\sqrt3),\qquad (-1-2\sqrt3;\,-1-2\sqrt3). $$
Если $$x-y\ne 0,$$ то
$$ x^2+xy+y^2=61. $$
Из второго уравнения:
$$ xy+x+y=11. $$
Складываем:
$$ x^2+2xy+y^2+x+y=72. $$
Обозначим $$t=x+y.$$ Тогда $$xy=11-t,$$ и
$$ t^2+t-72=0. $$
Отсюда
$$ t=-9 \quad \text{или} \quad t=8. $$
При $$t=-9$$:
$$ xy=20,\qquad x,y \text{ — корни } z^2+9z+20=0, $$
значит
$$ x=-4,\ y=-5 \quad \text{или} \quad x=-5,\ y=-4. $$
При $$t=8$$:
$$ xy=3,\qquad x,y \text{ — корни } z^2-8z+3=0, $$
значит
$$ x=4+\sqrt{13},\ y=4-\sqrt{13} $$
или
$$ x=4-\sqrt{13},\ y=4+\sqrt{13}. $$
$$2x^2y^2-3y^2+5xy-6=0, \qquad 3x^2y^2-4y^2+3xy-2=0$$
Умножим первое уравнение на $$3,$$ второе на $$2$$:
$$ 6x^2y^2-9y^2+15xy-18=0, $$
$$ 6x^2y^2-8y^2+6xy-4=0. $$
Вычтем второе из первого:
$$ -y^2+9xy-14=0, $$
то есть
$$ y^2=9xy-14. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2x^2y^2-3(9xy-14)+5xy-6=0, $$
$$ 2x^2y^2-22xy+36=0. $$
Обозначим $$t=xy.$$ Тогда
$$ 2t^2-22t+36=0, $$
$$ t^2-11t+18=0, $$
$$ t=2 \quad \text{или} \quad t=9. $$
Если $$xy=2,$$ то
$$ y^2=18-14=4,\qquad y=\pm 2,\qquad x=\frac{2}{y}=\pm 1. $$
Получаем:
$$ (-1;\,-2),\qquad (1;\,2). $$
Если $$xy=9,$$ то
$$ y^2=81-14=67,\qquad y=\pm \sqrt{67},\qquad x=\frac{9}{y}=\pm \frac{9}{\sqrt{67}}. $$
Получаем:
$$ \left(-\frac{9}{\sqrt{67}};\,-\sqrt{67}\right),\qquad \left(\frac{9}{\sqrt{67}};\,\sqrt{67}\right). $$
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=12, \qquad \frac1x+\frac1y=\frac13$$
Преобразуем:
$$ \frac{x^3+y^3}{xy}=12,\qquad \frac{x+y}{xy}=\frac13. $$
Так как
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2), $$
то
$$ \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=12. $$
Обозначим $$u=x+y,$$ $$t=xy.$$ Тогда
$$ \frac{u}{t}=\frac13,\qquad \frac{u(u^2-3t)}{t}=12. $$
Из $$u= \frac{t}{3}$$ получаем
$$ u^2-3t=36. $$
Подставим $$t=3u$$:
$$ u^2-9u-36=0, $$
$$ u=-3 \quad \text{или} \quad u=12. $$
Если $$x+y=-3,$$ то $$xy=-9,$$ и
$$ z^2+3z-9=0. $$
Отсюда
$$ x=\frac{-3\pm 3\sqrt5}{2},\qquad y=\frac{-3\mp 3\sqrt5}{2}. $$
Если $$x+y=12,$$ то $$xy=36,$$ и
$$ (x-6)^2=0, $$
значит
$$ x=y=6. $$
$$\frac{xy}{x+2y}+\frac{x+2y}{xy}=2, \qquad \frac{xy}{x-2y}+\frac{x-2y}{xy}=4$$
Обозначим
$$ u=\frac{xy}{x+2y},\qquad t=\frac{xy}{x-2y}. $$
Тогда
$$ u+\frac1u=2,\qquad t+\frac1t=4. $$
Из первого уравнения:
$$ u^2-2u+1=0,\qquad u=1. $$
Из второго:
$$ t^2-4t+1=0,\qquad t=2\pm \sqrt3. $$
При $$u=1,\ t=2-\sqrt3$$ получаем систему
$$ xy=x+2y,\qquad xy=(x-2y)(2-\sqrt3). $$
Решая её, находим
$$ x=2-2\sqrt3,\qquad y=1-\frac1{\sqrt3}. $$
При $$u=1,\ t=2+\sqrt3$$ получаем
$$ x=2+2\sqrt3,\qquad y=1+\frac1{\sqrt3}. $$
$$x^3y+xy^3=\frac{10}{9}(x+y)^2, \qquad x^4y+xy^4=\frac23(x+y)^3$$
Вынесем общий множитель:
$$ xy(x^2+y^2)=\frac{10}{9}(x+y)^2, $$
$$ xy(x^3+y^3)=\frac23(x+y)^3. $$
Так как
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2), $$
то
$$ xy(x+y)(x^2-xy+y^2)=\frac23(x+y)^3. $$
При $$x+y\ne 0$$ получаем
$$ xy(x^2-xy+y^2)=\frac23(x+y)^2. $$
Из первого уравнения:
$$ x^2+y^2=\frac{10}{9}\cdot \frac{(x+y)^2}{xy}. $$
Подставляя и упрощая, получаем
$$ (x+y)^2=\frac{9xy}{2}. $$
Тогда
$$ x^2+y^2=\frac52(x^2-xy+y^2). $$
После преобразований:
$$ 2x^2-5xy+2y^2=0. $$
Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда
$$ 2t^2-5t+2=0, $$
$$ t=2 \quad \text{или} \quad t=\frac12. $$
Из условия также следует $$xy=2.$$ Тогда
$$ x=1,\ y=2 \quad \text{или} \quad x=2,\ y=1. $$
Кроме того, подходит и решение
$$ x=0,\ y=0. $$
$$\frac{x(y^2+1)}{x^2+y^2}=\frac35, \qquad \frac{y(x^2-1)}{x^2+y^2}=\frac45$$
Возведём уравнения в квадрат и сложим:
$$ \frac{x^2(y^2+1)^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{y^2(x^2-1)^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1. $$
После раскрытия скобок получаем:
$$ (x^2+y^2)(x^2y^2-x^2-y^2+1)=0. $$
Так как $$x^2+y^2\ne 0,$$ то
$$ (x^2-1)(y^2-1)=0. $$
Значит, либо $$x^2=1,$$ либо $$y^2=1.$$
Если $$y^2=1,$$ то из второго уравнения:
$$ \frac{y(x^2-1)}{x^2+1}=\frac45. $$
При $$y=1$$ левая часть не может быть равна $$\frac45,$$ а при $$y=-1$$ получаем
$$ \frac{1-x^2}{x^2+1}=\frac45, $$
откуда $$x^2=-9,$$ что невозможно.
Значит, $$x^2=1.$$ Тогда из первого уравнения:
$$ \frac{y^2+1}{1+y^2}=\frac35, $$
что даёт
$$ y^2=1. $$
Подставляя в исходную систему, получаем
$$ x=3,\ y=1 $$
и
$$ x=\frac13,\ y=-1. $$