Упр.746 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
- Найти действительные решения системы уравнений:
1) $$\begin{cases}(x^2+y^2)(x-y)=13,\\xy(x-y)=6;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}4(x^3+y^3)=9x^2y^2,\\4(x^2+y^2)=9x^2y^2-8xy.\end{cases}$$
1) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} (x^2+y^2)(x-y)=13,\\ xy(x-y)=6. \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{13}{6}.$$
Тогда
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6}.$$
Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда
$$t+\frac{1}{t}=\frac{13}{6}.$$
Умножим на $$6t$$:
$$6t^2-13t+6=0.$$
$$D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=25,$$
$$t_1=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3}, \qquad t_2=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2}.$$
1. Если $$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$$, то $$x=\frac{2y}{3}$$. Подставим во второе уравнение:
$$\frac{2y}{3}\cdot y\left(\frac{2y}{3}-y\right)=6,$$
$$\frac{2y^2}{3}\cdot\left(-\frac{y}{3}\right)=6,$$
$$-y^3=27,$$
$$y=-3,\qquad x=-2.$$
2. Если $$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$$, то $$x=\frac{3y}{2}$$. Тогда
$$\frac{3y}{2}\cdot y\left(\frac{3y}{2}-y\right)=6,$$
$$\frac{3y^2}{2}\cdot\frac{y}{2}=6,$$
$$3y^3=24,$$
$$y=2,\qquad x=3.$$
2) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 4(x^3+y^3)=9x^2y^2,\\ 4(x^2+y^2)=9x^2y^2-8xy. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$4x^2+4y^2=9x^2y^2-8xy,$$
$$4(x^2+2xy+y^2)=9x^2y^2,$$
$$4(x+y)^2=9x^2y^2.$$
Из первого уравнения:
$$4(x^3+y^3)=9x^2y^2.$$
Приравняем правые части:
$$4(x^3+y^3)=4(x+y)^2.$$
Так как $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$, получаем
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2.$$
Если $$x+y=0$$, то из $$4(x+y)^2=9x^2y^2$$ следует $$xy=0$$, значит $$x=y=0$$.
Если $$x+y\neq 0$$, то можно разделить на $$x+y$$:
$$x^2-xy+y^2=x+y.$$
Обозначим $$t=x+y$$, $$u=xy$$. Тогда
$$x^2-xy+y^2=t^2-3u,$$
и система принимает вид
$$\begin{cases} t^2-3u=t,\\ 4t^2=9u^2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$2t=\pm 3u.$$
Случай 1: $$2t=3u$$. Тогда $$u=\frac{2t}{3}$$, и
$$t^2-3\cdot\frac{2t}{3}=t,$$
$$t^2-3t=0,$$
$$t(t-3)=0.$$
При $$t=0$$ получаем $$u=0$$, то есть $$x=y=0$$.
При $$t=3$$ получаем $$u=2$$. Тогда
$$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=2, \end{cases}$$
откуда
$$x^2-3x+2=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=2.$$
Соответственно, $$y=2$$ или $$y=1$$.
Случай 2: $$2t=-3u$$. Тогда $$u=-\frac{2t}{3}$$, и
$$t^2+2t=t,$$
$$t^2+t=0,$$
$$t(t+1)=0.$$
При $$t=0$$ снова получаем $$x=y=0$$.
При $$t=-1$$ имеем $$u=\frac{2}{3}$$, но тогда система
$$\begin{cases} x+y=-1,\\ xy=\frac{2}{3} \end{cases}$$
не имеет действительных решений, так как
$$x^2+x+\frac{2}{3}=0,\qquad D=1-\frac{8}{3}<0.$$
Значит, остаются только найденные пары.
Ответ
1) $$(-2;\,-3),\ (3;\,2)$$
2) $$(0;\,0),\ (1;\,2),\ (2;\,1)$$
