Упр.746 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
1) {((x^2+y^2)(x-y)=13, xy(x-y)=6);
2) {(4(x^3+y^3)=9x^2y^2, 4(x^2+y^2)=9x^2y^2-8xy).
1) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} (x^2+y^2)(x-y)=13,\\ xy(x-y)=6. \end{cases} $$
Разделим первое уравнение на второе:
$$ \frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{13}{6}. $$
Тогда
$$ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6}. $$
Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда
$$ t+\frac{1}{t}=\frac{13}{6}. $$
Умножим на $$6t$$:
$$ 6t^2-13t+6=0. $$
$$ D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=25, $$
$$ t_1=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3}, \qquad t_2=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2}. $$
1. Если $$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$$, то $$x=\frac{2y}{3}$$. Подставим во второе уравнение:
$$ \frac{2y}{3}\cdot y\left(\frac{2y}{3}-y\right)=6, $$
$$ \frac{2y^2}{3}\cdot\left(-\frac{y}{3}\right)=6, $$
$$ -y^3=27, $$
$$ y=-3,\qquad x=-2. $$
2. Если $$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$$, то $$x=\frac{3y}{2}$$. Тогда
$$ \frac{3y}{2}\cdot y\left(\frac{3y}{2}-y\right)=6, $$
$$ \frac{3y^2}{2}\cdot\frac{y}{2}=6, $$
$$ 3y^3=24, $$
$$ y=2,\qquad x=3. $$
2) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 4(x^3+y^3)=9x^2y^2,\\ 4(x^2+y^2)=9x^2y^2-8xy. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ 4x^2+4y^2=9x^2y^2-8xy, $$
$$ 4(x^2+2xy+y^2)=9x^2y^2, $$
$$ 4(x+y)^2=9x^2y^2. $$
Из первого уравнения:
$$ 4(x^3+y^3)=9x^2y^2. $$
Приравняем правые части:
$$ 4(x^3+y^3)=4(x+y)^2. $$
Так как $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$, получаем
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2. $$
Если $$x+y=0$$, то из $$4(x+y)^2=9x^2y^2$$ следует $$xy=0$$, значит $$x=y=0$$.
Если $$x+y\neq 0$$, то можно разделить на $$x+y$$:
$$ x^2-xy+y^2=x+y. $$
Обозначим $$t=x+y$$, $$u=xy$$. Тогда
$$ x^2-xy+y^2=t^2-3u, $$
и система принимает вид
$$ \begin{cases} t^2-3u=t,\\ 4t^2=9u^2. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ 2t=\pm 3u. $$
Случай 1: $$2t=3u$$. Тогда $$u=\frac{2t}{3}$$, и
$$ t^2-3\cdot\frac{2t}{3}=t, $$
$$ t^2-3t=0, $$
$$ t(t-3)=0. $$
При $$t=0$$ получаем $$u=0$$, то есть $$x=y=0$$.
При $$t=3$$ получаем $$u=2$$. Тогда
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ xy=2, \end{cases} $$
откуда
$$ x^2-3x+2=0, $$
$$ x=1 \text{ или } x=2. $$
Соответственно, $$y=2$$ или $$y=1$$.
Случай 2: $$2t=-3u$$. Тогда $$u=-\frac{2t}{3}$$, и
$$ t^2+2t=t, $$
$$ t^2+t=0, $$
$$ t(t+1)=0. $$
При $$t=0$$ снова получаем $$x=y=0$$.
При $$t=-1$$ имеем $$u=\frac{2}{3}$$, но тогда система
$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ xy=\frac{2}{3} \end{cases} $$
не имеет действительных решений, так как
$$ x^2+x+\frac{2}{3}=0,\qquad D=1-\frac{8}{3}<0. $$
Значит, остаются только найденные пары.
Ответ
1) $$(-2;\,-3),\ (3;\,2)$$
2) $$(0;\,0),\ (1;\,2),\ (2;\,1)$$
